Главная стр 1
скачать
Задача № 1.

РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕГРЕССИИ И КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ ПАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ПЛОЩАДЬЮ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ И ИХ ЦЕНОЙ

Определите взаимосвязь между площадью (X) и стоимостью земельных участков (Y). На основании представленных наблюдений построить корреляционное поле зависимости.




№ п/п

Исходные данные

Площадь земельных участков (сот.)

Цена 1 сотки земли в среднем, дол.

1

12

1500

2

20

5000

3

15

3500

4

19

4000

5

25

6000

6

26

6500

7

28

7300

8

30

10000

9

31

10500

10

33

11000

11

35

11500

12

38

12000


Решение задачи.

Для того чтобы понять имеется ли зависимость между площадью земельных участков и ценой 1 сотки земли в среднем, построим график в двухмерной системе координат (x,y), где у – стоимость земельных участков,




х – площадь земельного участка (рис.1).

По графическому представлению (рис. 1), построенному по данным таблицы 1, можно предположить, что зависимость стоимости земельных участков от площади земельных участков носит линейный характер, тогда реальную зависимость можно заменить функциональной линейной связью:



y=a0+a1x .

Для определения параметров a0 и a1 используем принцип наименьших квадратов.

Для получения системы нормальных уравнений приравняем нулю первые производные суммы квадратов отклонений случайных величин (уj) от соответствующих значений уравнения регрессий по параметрам а0 и а1:



;

Получаем следующую систему нормальных уравнений:



;

;

.

В данных уравнениях величины и - статистические данные, представленные в табл.1, а параметры a0 и a1 неизвестные величины, которые определим из решения двух уравнений с двумя неизвестными.

Для расчета коэффициентов системы нормальных уравнений а0, а1 составим таблицу 2.

Таблица 2

Расчёт коэффициентов системы нормальных уравнений



для расчета параметров «a0» и «а1» (случай линейного представления зависимости)

№ п/п

хj

уj

j)2

хj уj

Ўj сглаж

Ўj=f(x)


j)2для расчёта rуx

1

12

1500

144

18000

1426,2

2250000

2

20

5000

400

100000

4839,8

25000000

3

15

3500

225

52500

2706,3

12250000

4

19

4000

361

76000

4413,1

16000000

5

25

6000

625

150000

6973,3

36000000

6

26

6500

676

169000

7400

42250000

7

28

7300

784

204400

8253,4

53290000

8

30

10000

900

300000

9106,8

100000000

9

31

10500

961

325500

9533,5

110250000

10

33

11000

1089

363000

10386,9

121000000

11

35

11500

1225

402500

11240,3

132250000

12

38

12000

1444

456000

12520,4

144000000



312

88800

8834

2616900

888000

794540000

()2


97344

7885440000













∑/п




7400


















Таким образом линейное функциональное представление зависимости урожайности гречихи от времени примет вид:



ў=f(x)= -3694,2+426,7х

Подставляя в полученное уравнение значения j), определим стоимость земельных участков в зависимости от их площади (ў):



y1= -3694,2+426,712=1426,2

y2= -3694,2+426,720=4839,8

y3= -3694,2+426,715=2706,3

y4= -3694,2+426,719=4413,1

y5= -3694,2+426,725=6973,3

y6= -3694,2+426,726=7400

y7= -3694,2+426,728=8253,4

y8= -3694,2+426,730=9106,8

y9= -3694,2+426,731=9533,5

y10= -3694,2+426,733=10386,9

y11= -3694,2+426,735=11240,3

y12= -3694,2+426,738=12520,4
Оценка производственной функции

Вычислим коэффициент корреляции, показывающий, насколько зависимость уj= j, выраженная выборкой близка к линейной.



.

Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемся расчётами, проведёнными в табл.2.



,

.

Значение коэффициента корреляции говорит о высокой степени линейной корреляции величин у и х.

Тесноту нелинейных связей характеризуют выборочным корреляционным отношениям.



Корреляционное отношение показывает, насколько принятое уравнение регрессии соответствует реальной статистической картине.

Для линейной регрессии .

Корреляционное отношение определяется по формуле:

.

Таблица 3

Таблица для расчёта корреляционного отношения (R) и дисперсии












1

5446,44

34810000

35686286,44

2

25664,04

5760000

6554624,04

3

629959,69

15210000

22030819,69

4

170651,61

11560000

8921571,61

5

947312,89

1960000

182072,89

6

810000

810000

0

7

908971,56

10000

728291,56

8

797806,24

6760000

2913166,24

9

934122,25

9610000

4551822,25

10

375891,61

12960000

8921571,61

11

67444,09

16810000

14747904,09

12

270816,16

21160000

26218496,16



5944086,58

137420000

131456626,58




Дост

Добщ

Дрег



Оценка погрешностей определения коэффициентов корреляции

Т.к. в нашем случае мы имеем дело с малой выборкой (,) стандартная ошибка определения коэффициента парной корреляции вычисляется по формуле:



Достоверность расчёта коэффициента корреляции высока

Стандартная ошибка определения корреляционного отношения R, вычисляется при () по формуле:

, где N – число выборки, K – число факторов.

.

Если , то выборочная оценка коэффициента корреляции приемлема: 0,98 > 0,18 .

Коэффициент корреляции позволяет сделать вывод о целесообразности использования уравнения регрессии.

Т.к. () и (), то производственную функцию можно представить в форме линейной регрессии.

Для более полной оценки погрешности необходима оценка закона распределения коэффициентов корреляции.

При малом объёме выборки и сильной корреляции закон распределения коэффициента корреляции отличается от нормального, в этом случае используется статистика Фишера.



Доверительный интервал для коэффициента r0 в генеральной совокупности определится соотношением (случай , ):

,

где ;



,

tp – находится с помощью таблиц значений функции Лапласа по уровню доверительной вероятности;

р – уровень доверительной вероятности.

Если возьмём уровень доверительной вероятности 80% (), тогда значение из таблицы функции Лапласа будет равно .

Доверительный интервал для коэффициента корреляции определится соотношением

Оценка значимости представления производственной функции или оценка адекватности выбранной сглаженной зависимости реальной стохастической зависимости результата уj от фактора j.

Степень влияния производственного фактора j на результат производства уj определим на основе дисперсий отклонений сглаженных значений от среднего наблюдаемого и отклонений наблюдаемых величин уj от сглаженных значений , т.е. от линии регрессии ост).

Дисперсии вычисляются по формулам:



; .

; .

Помимо указанных дисперсий вводится их сумма:



; .

Для линейной регрессии:



; .

Коэффициент детерминации В характеризует какая доля изменений величины у обусловлена изменением фактора х.



, тогда .

Величина (1-В) – характеризует долю изменений величины у от влияния неучтённых факторов. Коэффициент детерминации В=0,96 показывает, что 96% изменений величины у вызвано изменением производственного фактора х, а (1-В)=1-0,96=0,04, т.е. 4% обусловлены влиянием неучтённых факторов.

В случае линейной регрессии ; ; .

- стандартное отклонение уj от поверхности регрессии.

Выборочная оценка дисперсии отклонения случайной величины уj от линии регрессии равна



;

;

.

Несмещённая выборочная оценка стандартного отклонения величины уj от линии регрессии составляет 735,1, т.е. находится в пределах от значений величины , полученных из уравнения регрессии. изменяется (см.таблица 2) от 1426,2 до 12520,4, что составляет 50,3% и 5,9%:



1462,2 – 100 % 12520,4 – 100%

735,1 – х 735,1 – х

х=50,3% х=5,9%.

Проблема достаточности данных

Т.к. мы имеем дело с малой выборкой, необходимо обеспечить выполнения условия:



, где L – число параметров; т.е. число выборки должно превышать количество параметров хотя бы на 10.

Для нашей задачи минимально необходимый объём выборки 2+10=12.



Экономические характеристики производственных функций

Дополнительный продукт фактора (максимальная площадь) определяется производной:

(при фиксации всех остальных факторов).

Для линейной зависимости



,

Дi равен увеличению стоимости земельного участка за счёт увеличения i-го фактора на единицу и характеризует тем изменения у в данной точке при изменении фактора хi .

Дополнительный продукт фактора для линейной регрессии есть const, равная .



Средняя производительность

– средний темп изменения у при увеличении фактора от нуля до заданного значения хi .

.

Коэффициент эластичности

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится результат производства( у) при изменении фактора (х) на 1%, т.е при изменении фактора (х) на 1 %, стоимость земельного участка изменится на 3,59%.



Задача №2

РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ СТОИМОСТЬЮ 1-КОМНАТНОЙ КВАРТИРЫ И ЕЁ ОБЩЕЙ ПЛОЩАДЬЮ, ВРЕМЕНИЕМ В ПУТИ ДО МЕТРО, ЭТАЖНОСТЬ КОМНАТЫ, ЗДАНИЯ, ПЛОЩАДЬЮ КУХНИ
Имеются данные выборочного обследования квартир (1-комнатные). при продаже, находящихся в Центральном Административном Округе (ЦАО). Требуется построить модель стоимости комнат в городе путем выявления математической зависимости между стоимостью комнат и факторами, влияющими на её изменения., построение.

Общий вид корреляционно-регрессионной модели:


У = f (X1, X2, … Xn; a1, a2, … an),
где У – результативный показатель, стоимость комнат, тыс.$;

X1, X2, - Xn - факторы аргументы, обуславливающие уровень результативного показателя (количественные и качественные характеристики);

а1, а2, - аn - параметры функции, которые определяются статистически по массиву имеющихся данных о стоимостях комнат по Москве (коэффициенты при соответствующих характеристиках).

х1 - путь до метро, мин.,

х2 - этаж комнаты,

х3 - этажность здания,

х4 - общая площадь, м2,

х5 - площадь кухни, м2.



Таблица 1

Данные для расчета показателей

№ п/п

Путь до метро, мин.

Этаж комнаты

Этажность здания

Общая площадь, м2

Площадь кухни, м2

Общая стоимость квартиры, тыс.$

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

У

1

5

3

8

30

9,2

38,5

2

12

3

5

30,4

8

40

3

7

4

5

32

8,5

43

4

5

4

5

32,5

8

45

5

15

9

12

33

15

46

6

5

2

12

34,6

12

48

7

10

6

8

35

8,5

50

8

10

5

14

36

10

52

9

10

9

12

37

12

56

10

7

1

15

37,5

10

58

11

7

16

16

38

12

60

12

7

1

15

39

10

62

13

5

16

16

39,6

9,3

66,5

14

5

7

12

40,3

10

70

15

5

14

15

41

11

72

16

10

16

17

42,1

12,5

77

17

5

5

16

45

9

88

18

5

3

9

45,5

13

92

19

10

5

5

48

17

99

20

10

3

6

58

13

132


Решение задачи.

Рассмотрим условие задачи: общая стоимость квартиры (у) зависит от 5 факторов (путь до метро, этаж комнаты, этажность здания, общая площадь, площадь кухни).

Следовательно предположим, что зависимость стоимости квартиры от всех этих факторов носит линейный характер, тогда реальную зависимость можно заменить функциональной линейной связью:

y=a0+a1x1 + a1x1 + a2x3 + a4x4 + a5x5

Для определения параметров a0 ,a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 решим следующую систему нормальных уравнений:





В данных уравнениях величины и - статистические данные, представленные в табл.1, а параметры a0 ,a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 неизвестные величины, которые определим из решения пяти уравнений с пятью неизвестными.
скачать


Смотрите также:
Задача № расчет показателей регрессии и корреляции при парной линейной связи между площадью земельных участков и их ценой
182.69kb.
Правовые проблемы наследования земельных участков
117.15kb.
Законом Алтайского края от 16 декабря 2002 года №88-зс «О бесплатном предоставлении в собственность земельных участков» определен перечень категорий граждан, имеющих право на бесплатное получение земельных участков в собственность
56.03kb.
Эконометрика 1
2296.61kb.
Вопросы к экзамену по курсу «Экономический анализ»
36.01kb.
Вопрос: Об использовании при выполнении кадастровых работ в отношении земельных участков менее затратных методов определения координат характерных точек границ
33.56kb.
Вопрос: о льготном порядке предоставления земельных участков из земель, находящихся в государственной или муниципальной собственности, инвалидам и семьям, имеющим в своем составе инвалидов, в частности, в Краснодарском крае. Ответ
67.49kb.
О передаче земельных участков, входивших в состав лесного фонда и включенных в границы населенных пунктов, из федеральной собственности в собственность муниципальных образований
37.54kb.
О порядке передачи земельных участков собственникам помещений в многоквартирном доме
57.18kb.
Правовые проблемы приватизации гражданами земельных участков из состава категории земель сельскохозяйственного назначения
91.31kb.
О льготном порядке предоставления земельных участков для индивидуального жилищного строительства многодетным семьям, в частности, в Московской области
18.67kb.
Вопросы к зачету по дисциплине "Эконометрика"
21.35kb.