Главная стр 1
скачать
Занятие №2

Решение квадратных уравнений с параметрами.

При решении квадратных уравнений (да и неравенств) с параметрами, встречающихся в задания по ГИА и ЕГЭ, требуются следующие знания :



  • Частные случаев решения квадратных уравнений,

  • Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения,

  • Теорема Виета,

  • Разложение квадратного трехчлена на множители,

  • Определение знаков корней квадратного уравнения.

Хорошие знания по данным тема, позволят вам справиться с любым заданием.

Кроме этого необходимо помнить, часто в такого рода заданиях коэффициенты при неизвестном являются не числами, как правило, а целыми выражениями. Например в уравнении



а (а – 1)x2 + 3 (а + 2)x + 6 = 0 первый коэффициент а = а (а – 1), второй в =3 (а + 2), свободный член с =6. При нахождении дискриминанта, корней уравнения вместо а,в, с подставляются целые выражения. Решив полученное уравнение или неравенство необходимо записать ответ.

 Приведенный ниже обобщенный справочный материал позволит вам решать уравнения с параметрами.



описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f803.jpg

 Дискриминант: описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f804.jpg

     Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня: описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f805.jpgкоторые могут быть вычислены по формулам:

описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f806.jpg

или


описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f807.jpg

     Если D = 0, то кв. ур-е имеет единственный корень описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f808.jpg.

Если D < 0, то действительных корней нет.


     Частные случаи

     1. описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f809.jpg (приведенное квадратное уравнение), описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f810.jpg

     при D > 0

описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f811.jpg

     при D = 0



описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f812.jpg

     2. описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f813.jpg

     при D > 0

описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f814.jpg

     при D = 0



описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f815.jpg

     3. описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f816.jpg

     4. описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f817.jpg

     5. описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f818.jpg

 

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения (формулы Виета)

     Если описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f819.jpg- корни квадратного уравнения описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f820.jpgто



описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f821.jpg

     Для уравнения описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f822.jpg



описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f823.jpg

     Разложение квадратного трехчлена на множители

     Если D > 0, то описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f824.jpg

     Если D = 0, то описание: описание: http://www.pm298.ru/math/f825.jpg


 

Определение знаков корней квадратного уравнения


x2 + (b/a)x + c/a = 0.
Введем замену: b/a = p, c/a = q.
Получим уравнение: x2 + px + q = 0.

 


q

p

Знаки корней

q > 0

p > 0

оба корня отрицательны

p < 0

оба корня положительны

p = 0

корней нет

q < 0

p > 0

корни разных знаков; больший по модулю корень отрицателен

p < 0

корни разных знаков; больший по модулю корень положителен

p = 0

x1 = − x2

q = 0

p ≠ 0

x1 = 0; x2 = − p

p = 0

x1 = x2 = 0


Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение аx (аx + 3) + 6 = x (аx – 6) является

а) квадратным


б) неполным квадратным
в) линейным

Преобразуем: а2x2 + 3 аx + 6 = аx2 – 6x



а2x2аx2 + 3 аx + 6x + 6 = 0
а (а – 1)x2 + 3 (а + 2)x + 6 = 0

а) уравнение квадратное, если старший коэффициент =/= 0



а (а – 1) =/= 0
а = 0, а =/= 1

т.е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1

б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0.

3 (а + 2) = 0 а = – 2

в) линейное, если коэффициент при x2 равен 0 а (а – 2) = 0 а = 0; 2

Ответ:

при а =/= 0; 2 уравнение квадратное


при а = – 2 неполное квадратное
при а = 0,2 линейное.

 

Пример 2. Решить уравнение x2 bx + 4 = 0

D = b2 – 16.

а) если |b|> 4, т.е. b < 4 и b > 4 (b ? ( – описание: описание: http://festival.1september.ru/articles/511520/img2.gif; 4)U(4; + описание: описание: http://festival.1september.ru/articles/511520/img2.gif), то D >0 и уравнение имеет 2 корня

image091

б) если |b|= 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = b/2

в) если |b|< 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Ответ: если b < – 4 и b > 4, то 2 корня image093

если b = ± 4, то 1 корень x = b/2.



если – 4 < b < 4, то корней нет.
 
скачать


Смотрите также:
Занятие №2 Решение квадратных уравнений с параметрами
42.53kb.
Элективный курс по математике «Решение уравнений и неравенств с параметрами. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»
37.2kb.
Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами»
53.49kb.
Урок по теме «Квадратные уравнения с параметрами»
70.54kb.
Решение уравнений и систем уравнений с параметрами
90.24kb.
Решение квадратных уравнений
167.39kb.
Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с модулями и параметрами»
96.33kb.
Решение иррациональных уравнений вида
26.67kb.
Практикум по решению уравнений и неравенств 1 2 10а, Этикет. Практикум по разработке и защите проектов
136.41kb.
Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решений уравнений и неравенств,
59.44kb.
«Решение иррациональных уравнений» Учитель: Бондаренко А. С. 2012-2013 учебный год Тема урока: «Решение иррациональных уравнений»
40.66kb.
Лекция «Целые рациональные уравнения»
786.85kb.