Главная стр 1
скачать


НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА»

Кафедра математики и информационных систем

в экономике


Н.А. Федянова




МАТЕМАТИКА


Методические рекомендации по изучению дисциплины

и выполнению контрольной работы

1

Для студентов заочного обучения специальностей:

060400 «Финансы и кредит», 060500 «Бухгалтерский учет,

анализ и аудит», 061100 «Менеджмент организации»,

351100 «Товароведение и экспертиза товаров»,

351400 «Прикладная информатика в экономике»

Волгоград 2005



ББК
Рецензент: к.т.н., доцент Комаров В.А.

Федянова Н.А.

Математика: Методические рекомендации по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы № 1 для студентов заочного обучения специальностей: 060400 «Финансы и кредит», 060500 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 061100 «Менеджмент организации», 351100 «Товароведение и экспертиза товаров», 351400 «Прикладная информатика в экономике». – Волгоград, 2005. - 24 с.


Задания, методические рекомендации разработаны в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» и предназначены студентам заочного отделения.

Рекомендации и задачи включают: целевую установку, содержание дисциплины, методические указания, задания и правила выполнения контрольных работ, вопросы к экзамену, список литературы по дисциплине.

Методические рекомендации рекомендованы к изданию кафедрой математики и информационных систем в экономике, протокол № 1 от 30.08.2005 г.

 НОУ «Волгоградский институт бизнеса»


1. ЦЕЛЕВАЯ УСТАНОВКА
В настоящее время математические методы широко используются для решения самых различных задач экономики, бухгалтерского учета, товароведения. Значение этих методов существенно возросло в связи с массовым применением во всех отраслях хозяйства средств вычислительной техники.

Целью преподавания математических дисциплин студентам экономических специальностей является:

- ознакомление студентов с математическим аппаратом, необходимым для анализа процессов и явлений в ходе поиска оптимальных решений практических задач в экономических исследованиях;


  • выработка умения самостоятельно изучать учебную литературу по математическим методам решения экономических задач;

  • развитие логического мышления и повышение уровня математической культуры.

В соответствии с учебным планом студенты-заочники первого курса выполняют домашнюю контрольную работу.

В настоящих методических указаниях даны основные теоретические вопросы курса, решены типичные задачи.



2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ ВЫПОНЕНИЯ

ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1
Раздел 1. Множества
Множества. Способы задания. Операции над множествами. Числовые множества. Отображение множеств, эквивалентность.


Раздел 2. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Арифметические векторы. Векторы в n-мерном векторном пространстве. Действия над векторами. Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц. Вычисление определителей старших порядков. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера. Системы линейных алгебраических уравнений размера mxn. Метод Гаусса. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Уравнение плоскости. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Линии второго порядка.



Раздел 3. Введение в математический анализ

Функция одной переменной. Понятие функции. Способы задания функции. График функции. Вычисление области определения функции. Построение обратных функций. Преобразование графиков функций. Основные свойства функции. Обратная функция. Сложная функция. Неявная функция. Пределы и непрерывность. Понятие предела функции в точке. Основные свойства пределов. Методы раскрытия неопределенности; первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функции в точке и на интервале. Основные свойства непрерывных функций.
Раздел 4. Дифференциальное исчисление. Функции одной переменной

Производная. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Ее геометрический и экономический смысл. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Техника дифференцирования. Производные элементарных функций. Производные сложных функций. Производные высших порядков. Производные обратных и неявных функций. Основные правила дифференцирования. Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Понятие о дифференциалах высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Приложение производной к раскрытию неопределенностей. Приложение производной к исследованию функции. Возрастание и убывание функции, экстремум функции, выпуклость функции, точки перегиба, асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.



3. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ


При выполнении контрольных работ надо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

  1. Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

  2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя, отчество студента, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины; здесь же следует указать дату отсылки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует указать используемую литературу.

  3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также содержание задачи не своего варианта, не засчитываются.

  4. Решение задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номер задачи.

  5. Перед решением каждой задачи надо выписывать полностью ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачу своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить данные конкретными из соответствующего номера.

  6. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

  7. После получения прорецензированной работы, как недопущенной, так и допущенной к собеседованию, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, а также выполнить все рекомендации. Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок. При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

  8. По каждой работе проводится собеседование, после чего выставляется зачет по контрольной работе.

Вариант контрольной работы содержит 5 заданий. Задачи контрольной работы должны выбираться студентами по двум последним цифрам его учебного номера (шифра) в соответствии с таблицей выбора вариантов. В колонке в таблице по вертикали расположены цифры от 0 до 9, но каждая из них – последняя цифра личного шифра. Пересечения вертикальных (А) и горизонтальных (Б) линий определяют номера задач контрольной работы, записанные столбиком. Например, если личный шифр студента имеет две последние цифры 75, то он должен выполнить номера 3, 13, 23, 40, 49.




Таблица выбора вариантов.


Б

А


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0


10

14

22



37

42


9

15

21



38

41


4

20

26



31

48


5

16

27



32

49


3

17

28



33

50


2

18

29



40

47


1

19

30



39

46


8

11

25



34

43


7

12

24



35

44


6

13

23



36

45

1


1

17

22



39

50


2

18

23



40

48


3

19

30



37

47


5

20

29



36

46


6

15

24



33

43


7

14

25



34

42


8

13

26



35

41


9

12

27



32

45


10

11

28



31

44


5

16

21



38

49

2


2

19

30



36

47


1

20

28



37

48


5

17

27



38

49


4

16

26



38

50


9

19

23



31

45


10

14

22



32

44


6

15

21



33

43


7

12

25



34

42


8

11

24



35

41


3

18

29



40

46

3


3

13

30



38

47


4

20

27



37

48


5

19

26



36

49


10

14

23



33

41


9

15

24



32

42


8

16

25



31

43


7

17

22



35

44


6

18

21



34

45


1

11

28



39

50


2

12

29



40

46

4


4

20

26



37

42


5

18

27



38

43


2

17

28



39

50


1

16

29



40

49


3

13

21



35

44


9

12

22



34

45


10

11

23



33

46


7

15

24



32

47


6

14

25



31

48


3

19

30



36

41


5


5

12

28



32

41


6

20

27



33

42


7

13

30



34

43


6

14

26



40

44


4

16

24



35

46


3

17

25



36

47


2

15

23



37

48


10

18

22



38

49


1

19

21



39

45


9

11

29



31

50




Б

А


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6


6

14

25



37

49


4

19

30



39

48


3

17

29



40

47


1

18

28



34

50


5

16

26



33

46


2

20

21



31

42


7

15

22



32

41


10

13

24



33

43


8

12

23



36

45


9

11

27



35

44

7


7

15

26



31

42


10

17

27



38

41


5

18

21



39

46


2

20

22



34

47


1

19

30



37

48


3

13

23



40

49


9

12

24



33

50


4

11

29



36

45


8

16

28



35

44


6

14

25



32

43

8


8

18

25



38

43


9

14

22



39

42


4

20

28



31

49


3

11

30



32

48


2

12

29



40

47


1

13

27



33

50


5

14

26



34

46


10

19

24



36

44


6

17

23



37

45


7

16

21



35

41

9


9

13

23



31

45


8

12

24



35

44


3

17

26



40

49


4

18

27



39

50


5

19

28



38

47


2

20

29



37

48


1

16

30



36

46


6

11

25



34

41


7

15

21



33

42


10

14

22



32

43




4. Методические указания по выполнению заданиЙ контрольной работы



Задача № 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

.
2 способ (решение с помощью обратной матрицы).
Перепишем систему уравнений в виде AX = B, где

, , .

Решение матричного уравнения имеет вид X = A-1B. Найдем обратную матрицу A-1. Имеем следующий главный определитель системы:



= 15 – 1 – 8 – 4 – 10 – 3 = – 11.

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

, , , ,

, , , ,

.

Тогда обратная матрица имеет вид:

, следовательно,

.

Ответ: x = –1; y = 3; z = 2.



3 способ (метод Гаусса).
Составим расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки. Затем вычтем первую строку из второй и из третьей строк:

, .
Изменив знаки во второй строке и умножив ее на 5, прибавляем к третьей строке. Затем делим последнюю строку на 11:

.

Теперь система уравнений принимает треугольный вид:



.

Из последнего уравнения имеем z = 2; подставляя это значение во второе уравнение, получаем y = 3 и тогда из первого уравнения находим x = –1.


Задача № 2. Построить прямую . Определить ее угловой коэффициент. Составить уравнения нескольких прямых, параллельных ей. Записать уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через начало координат.
Преобразуем заданное уравнение – решим его относительно y, получим уравнение:. Отсюда угловой коэффициент прямой равен: -А/В = -(-4)/2 = 2.

Для построения прямой нужно знать координаты двух точек, удовлетворяющих ее уравнению. Задавая , получим . Задавая , получим . Значит, прямая проходит через точки А(0; 3) и В(-3/2; 0) (рис. 1). Координаты точек, по которым строится график прямой, удобно записывать в таблицу:






x

0

3/2

y

3

0

Рис. 1
Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, т.е. для заданной прямой параллельными, например, будут прямые:



, , и т.д.

Произведение угловых коэффициентов параллельных прямых равно –1. Поэтому угловой коэффициент прямых, перпендикулярных заданной прямой, будет равен –1/2. Если прямая проходит через начало координат, то свободный член в уравнении такой прямой равен 0.

Тогда уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через начало координат, будет иметь вид: .
Задача № 3. Вычислить пределы:

а) .

Здесь предварительно имеем:



,

где и - корни квадратного трехчлена.

1) Числитель ; ; ; .

2) Знаменатель ; ; ; .



б) ,

так как


; ; и при .
Задача № 4. Найти производные функций:

а) ;

пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получим:



.

б) ;

.
Задача № 5. Выполним часть общего исследования функций:

Пример 1. Исследуем характер разрыва следующей функции имеет разрыв в точке , где она не определена.
; .

Односторонние пределы не существуют, следовательно, имеем разрыв второго рода. Через точку разрыва проходит вертикальная асимптота (рис. 2).



Рис. 2 Рис. 3


Пример 2. Найти экстремум функции .

Найдем производную . Приравниваем производную к нулю и находим критическую точку . Чтобы найти ординату этой точки, подставим в данную функцию и запишем вершину параболы C(1; 4). Ось симметрии проходит через C параллельно оси (рис. 3). Пересечение параболы с осью : ; , т.е. A(0; 5). Симметричная ей точка A1(2; 5).



Пример 3. Найти точки экстремума функции и интервалы монотонности функции .

Находим первую производную:



и приравниваем ее к нулю . Так как , то и . Критическая точка делит на два интервала монотонности, при переходе через точку меняет знак с на . Следовательно, - точка минимума.

5. ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.
1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)


9) 10)

Задачи № 11 - 20. Построить прямую . Определить ее угловой коэффициент. Составить уравнения нескольких прямых, параллельных ей. Записать уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через начало координат. Коэффициенты А, В, С заданы в таблице:


Номер задачи

А

В

С

11

6

-2

8

12

-6

-2

-10

13

9

3

-12

14

12

-3

9

15

10

2

4

16

-6

2

-4

17

10

5

-15

18

-9

3

6

19

-15

5

20

20

16

4

-20


Задачи № 21 - 30. Вычислить пределы:

21) а) ; б) .

22) а) ; б) .

23) а) ; б) .

24) а) ; б) .

25) а) ; б) .

26) а) ; б) .

27) а) ; б) .

28) а) ; б) .

29) а) ; б) .

30) а) ; б) .

Задачи № 31 - 40. Найти производные функций:
31) а) ; б) .

32) а) ; б) .

33) а) ; б) .

34) а) ; б) .

35) а) ; б) .

36) а) ; б) .

37) а) ; б) .

38) а) ; б) .

39) а) ; б) .

40) а) ; б) .
Задачи № 41 - 50. Выполнить исследование функции по следующей схеме:

1) найти область определения;

2) проверить четность-нечетность функции;

3) найти точки пересечения с осями координат;

4) найти экстремумы и интервалы монотонности;

5) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости;

6) найти пределы функции при ;

7) построить график функции.


41) . 42) .

43) . 44) .

45) . 46) .

47) . 48) .

49) . 50) .
6. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

  1. Значение математики в деятельности экономистов.

  2. Понятие матрицы. Элементы матрицы. Размер матрицы.

  3. Прямоугольная и квадратная матрицы. Треугольная матрица.

  4. Нулевая и единичная матрицы. Условие равенства матриц.

  5. Вектор-строка и вектор-столбец как частный случай матрицы.

  6. Операции над матрицами: транспонирование матриц, сложение матриц, умножение матрицы на число, перемножение матриц между собой.

  7. Понятие определителя квадратной матрицы.

  8. Способы вычисления определителей второго и третьего порядка.

  9. Понятия минора и алгебраического дополнения.

  10. Понятие обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

  11. Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

  12. Понятие решения системы. Системы совместные и несовместные, определенные и неопределенные.

  13. Решение СЛАУ методом обратной матрицы.

  14. Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.

  15. Метод Крамера. Достоинства и недостатки различных методов решения СЛАУ.

  16. Общее уравнение прямой линии на плоскости.

  17. Построение прямой. Уравнение прямой в отрезках.

  18. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

  19. Поведение прямой на графике в зависимости от параметров ее уравнения.

  20. Частные случаи положения прямых.

  21. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых.

  22. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

  23. Угол между прямыми. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.

  24. Понятие функции одной переменной. Способы задания функций.

  25. Классификация функций. Основные элементарные функции.

  26. Понятие обратной функции.

  27. Понятие сложной функции.

  28. Понятие предела функции в точке.

  29. Предел функции в бесконечности.

  30. Свойства пределов (основные теоремы о пределах).

  31. Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.

  32. Первый и второй замечательный пределы.

  33. Определение непрерывной функции.

  34. Точки разрыва функции первого и второго рода.

  35. Абсолютное приращение функции и приращение аргумента.

  36. Относительное приращение функции.

  37. Определение производной функции. Понятие дифференцирования.

  38. Геометрический и физический смыслы производной.

  39. Определение дифференциала.

  40. Правила дифференцирования.

  41. Производная сложной функции.

  42. Таблица производных основных функций.

  43. Производные высших порядков.

  44. Приложение производной к раскрытию неопределенностей. Правило Лопиталя.

  45. Исследование функции на монотонность.

  46. Определение экстремумов функции.

  47. Направление изгиба кривой. Точки перегиба.

  48. Определение вертикальных и наклонных асимптот графика функции.

  49. Общий план исследования функции.


7. Список рекомендуемой литературы


  1. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: Банки и биржи», «ЮНИТИ», 1997.

  2. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2000.

  3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986.

  4. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 1982, ч.1,2.

  5. Данко П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980, ч.1,2.

  6. Кузнецов А.в., Кузнецова Д.С. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике. – Минск: Высшая школа, 1994.

  7. Ильин В.А., Позняк Э.Е. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978.

  8. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1971.

  9. Справочник по математике для экономистов . Под ред. Ермакова. – М.: Высшая школа, 1987.

Учебное пособие



Методические рекомендации по выполнению

контрольной работы № 1

Федянова Наталья Алексеевна, к.т.н., доцент
МАТЕМАТИКА

Компьютерный набор Н.А.Федянова

Технический редактор Н.И. Джаруллаева

Подписано в печать 28. 09. 2005 г.

Формат 60х84/16. Бумага офсетная.

Объем 1,5 п.л. Тираж экз. Заказ №

Отпечатано в типографии

Волгоградского колледжа бизнеса



400010, г. Волгоград, ул. Качинцев, 63



скачать


Смотрите также:
Методические рекомендации по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы №1 для студентов заочного обучения специальностей: 060400 «Финансы и кредит»
248.71kb.
Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов заочного обучения по изучению дисциплины «Трудовое право России»
216.96kb.
Методические указания по выполнению контрольной работы Для студентов VI курса специальности 080105 (060400) «Финансы и кредит»
213.5kb.
Методические рекомендации по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы №2 Для студентов заочного обучения специальностей
414.81kb.
Методические указания по выполнению контрольной работы Для самостоятельной работы студентов IV курса специальности 060400 «Финансы и кредит»
267.53kb.
Методические указания по написанию и оформлению курсовой работы для студентов специальности 060400 «Финансы и кредит»
185.09kb.
Методические рекомендации по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ Для студентов заочного обучения специальности
438.67kb.
Методические рекомендации по подготовке, выполнению и оформлению курсовых работ для студентов специальности 080105. 65 «Финансы и кредит»
781.63kb.
Методические указания по выполнению лабораторной работы для студентов VI курса специальности 080105 (060400) «Финансы и кредит»
680.66kb.
Методические указания по изучению дисциплины «Организация деятельности коммерческого банка»
343.43kb.
Методические указания по изучению дисциплины и задания для контрольной работы
535.33kb.
Методические указания по изучению курса «Финансовый менеджмент» ивыполнению практических заданий для студентов специальности «Финансы и кредит»
568.25kb.