Главная стр 1
скачать
Модуль к теме: «Предел последовательности»
Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь понятием последовательность и предел последовательности, научитесь вычислять пределы последовательности.


Учебные элементы

Содержание

Учебные действия

УЭ1

Определение:

Пусть каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число . В этом случае говорят, что задана последовательность: . Число называется первым членом (элементом) последовательности, - вторым, - общим или n – м членом последовательности.


Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Она позволяет вычислить любой член последовательности по номеру .
Пример 1.

Написать первые пять членов последовательности



Решение:

при ;

при ;

при ;

при ;

при ;

следовательно,

Пример 2.

Написать формулу общего члена последовательности



Решение:

Заметим, что числитель дроби остается без изменения, меняется только знак дроби, следовательно, в числителе стоит . Знаменатель первого члена меньше на 1 второго и т.д., следовательно, в знаменателе . Таким образом, .



Задания:

  1. Написать первые четыре члена последовательности:



  1. Написать формулу общего члена последовательности:




Запиши в тетрадь необходимую информацию по данной теме.


Вопрос к допуску:

1.Что называется последовательностью?


Решения примеров запиши в тетрадь!

Выполни задания самостоятельно, сдай на проверку

УЭ2

Определение:

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство

В противном случае последовательность называется неограниченной.
Пример 3.

Легко видеть, что последовательность неограниченна, так как члены последовательности постоянно увеличиваются и не найдется такого числа , чтобы выполнялось неравенство



Пример 4.

Последовательность ограниченна, так как члены последовательности постоянно уменьшаются и можно найти такого числа , чтобы выполнялось неравенство , в данном случае это число 1.


Задания:

Требуется найти наибольший ( наименьший) член ограниченной сверху ( снизу) последовательности:




Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполнятся неравенство (). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность. Все эти последовательности называются монотонными последовательностями.



Вопрос к допуску:

2. Какая последовательность называется ограниченной (неограниченной)?



Решения примеров запиши в тетрадь!

Выполни задания самостоятельно,

сдай на проверку

Вопрос к допуску:

3. Какая последовательность называется возрастающей (убывающей) ?



УЭ3

Определение.

Число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такой номер , зависящей от , что для всех выполняется неравенство .

В этом случае пишут или и говорят, что последовательность имеет предел, равный числу .

Пример 5.

Доказать, что предел последовательности равен нулю.



Доказательство:

По определению, число 0 будет пределом последовательности , если для любого найдется натуральное число , такое, что для всех выполняется неравенство . Составим неравенство для нашего случая и найдем такие значения для которых оно выполняется:



т.е. . Оно справедливо для всех т.е. для всех , где целая часть числа . Доказано.

Запомни:

Предел последовательности , где С- постоянная, равен нулю.



Задания:

Используя определение доказать, что




Вычисление пределов последовательности

Пример 6.



Решение:

Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на n3 (на n в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим



Решить данный предел можно другим способом, используя правило.


Правило:

Предел вида , где равняется :



Следовательно, так как в примере 6. необходимо вычислить предел отношения многочленов при , то можно воспользоваться правилом. Так как в числителе и в знаменателе многочлены одной и той же степени, то есть имеет место третий случай, следовательно предел равен отношению коэффициентов при n в наибольшей степени, т.е. .



Пример 7.

Используя правило вычислить пределы:





Решение:

1. В данном случае в числителе и в знаменателе многочлены одной и той же степени, то есть имеет место третий случай , следовательно предел равен отношению коэффициентов при n в наибольшей степени , т.е. .

2. В данном случае в числителе степень многочлена (вторая) больше степени многочлена в знаменателе (первая), то есть имеет место второй случай , следовательно, предел равен бесконечности т.е. .

3. В данном случае в числителе степень многочлена (первая) меньше степени многочлена в знаменателе (третья), то есть имеет место первый случай , следовательно предел равен нулю т.е. .


Пример 8.

Вычислить предел





Решение:

Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):




Ответ:



Пример 9.

Вычислить предел





Решение:



Задания:

Вычислить пределы последовательности









Вопрос к допуску:

4. Что называется пределом последовательности ?



Доказательство запиши в тетрадь!

Выполни задания самостоятельно,

сдай на проверку

Решения примеров запиши в тетрадь!

Выполни задания самостоятельно, сдай на проверку

УЭ4


Типовой расчет по теме: «Пределы»


Получи свой вариант типового расчета у преподавателя.




Вопросы к допуску:

1.Что называется последовательностью?

2. Какая последовательность называется ограниченной (неограниченной)?

3. Какая последовательность называется возрастающей (убывающей) ?



4. Что называется пределом последовательности?


Знай ответы на все вопросы!!!






скачать


Смотрите также:
Модуль к теме: «Предел последовательности» Цель
70.47kb.
Модуль к теме: «Предел функции» Цель
82.54kb.
Задача Вычислить предел последовательности. Задача Вычислить предел последовательности
34.42kb.
Предел числовой последовательности
207.93kb.
Лекция Последовательности, предел последовательности
51.39kb.
1. Понятие последовательности. Предел последовательности. Свойства предела
263.75kb.
Исследование функции. ( 12 января 2010 года ) Предел последовательности
461.24kb.
Модуль к теме: «Функция. Преобразование графиков функций» Цель
85.59kb.
Модуль к теме: «Схема испытаний Бернулли» Цель
55.33kb.
Модуль к теме: «Системы линейных уравнений» Цель
47.54kb.
Модуль к теме: «Исследование системы линейных уравнений» Цель
33.02kb.
Неполные: 2,3,13 без решения: 7,11,14,15
59.17kb.