Главная стр 1
скачать
Разработка урока по теме «Решение уравнений различными методами»

Обобщающий урок. «Решение уравнений различными методами».

Цели урока:

• систематизирование и обобщение знаний учащихся по теме;

• развитие логического мышления;

• повышение интереса к предмету.

Оборудование: кодограммы.

(Урок для 9-11-х классов)



Структура урока.

  1. Организационный момент.

  2. Изучение нового материала.

  3. Доклады

  4. Закрепление материала.

  5. Подведение итогов урока.

  6. Домашнее задание.

Ход урока.

1 Организационный момент. Учитель сообщает тему и цели урока.

2.Учитель. Сегодня мы узнаем много нового: поговорим об общих идеях, общих методах, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по X классы. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания. Рассмотрим два метода: Метод разложения на множители и метод введения новых переменных.

Метод разложения на множители. Мы с вами неоднократно решали уравнения методом разложения на множители. Сегодня мы познакомимся ещё с одним методом, но для начала давайте разберём один пример. Ученик идёт к доске и решает пример.

Решить уравнение

Решение. Задача сводится к решению совокупности уравнений:

Область определения исходного уравнения задаётся условием х+2 ≥ 0 или х ≥ 0.Найденные значения х удовлетворяют этому условию.

Ответ: 0;1;7.

Рассмотрим ещё один пример. (Этот пример рассматривается на кодоскопе).

Решить уравнение .

Решение. Представим слагаемое -7х в виде -6х-х, это облегчит нам группировку:



В разложении на множители воспользуемся одной из формул сокращенного умножения:



или

Итак, получена совокупность уравнений



В исходном уравнении нет никаких ограничений на допустимые значения х. Поэтому все три найденные числа являются искомыми корнями.

Ответ:-3;1;2.

Учитель. Преобразования, которые мы выполняли, хорошо известны из курса VIII класса. Рассмотрим ещё два важных факта, облегчающих разложение на множители: теорему Безу и схему Горнера. Сейчас мы с вами будем говорить о теореме Безу, поэтому для начала послушаем доклад о жизни и об основных работах этого ученого.

Ученик выступает с докладом. «Творческая деятельность Э.Безу».

Безу Этьенн (31.31.1730.-27.09.1783) – французский математик член Парижской АН. Родился в Немуре. С 1763 года преподаёт математику в училище гардемаринов, а с1768 года и в Королевском артиллеристском корпусе. Основные работы Безу относятся к высшей алгебре. В теории решения систем линейных уравнений наряду с Г. Крамером Безу содействовал возникновению теории определителей, развил теорию исключения неизвестного из системы линейных уравнений высших степеней, доказал теорему о том, что две кривые порядка m,n пересекаются не более чем в mn точках. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Учитель. Теорема Безу (демонстрируется учащемся на заранее заготовленной таблице): «Многочлен (с целыми коэффициентами при х и натуральными показателями степеней) при делении на x-l даёт остаток . Если N = 0, то l - корень уравнения М(х) = 0, то есть M(l) = 0».

Деление многочленов значительно упрощает схема Горнера.

Ученик выступает с докладом. «Творческая деятельность Дж. Горнера».

Горнер Вильямс Джордж родился в 1786. Английский математик работал в области алгебры. В 1819 году опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, назвал этот способ способом Руффини- Горнера. Этот способ был известен ещё китайцам в 13 в. Именем Горнера названа схема решения многочлена на двучлен х-а. Умер Горнер в 1837 году.



Учитель. Итак, схема Горнера это схема, в которой приводятся формулы для вычисления частного и остатка. Но в практике решения уравнений удобно не формулы вспоминать, а просто делить многочлены, как делят друг на друга многозначные числа. Давайте рассмотрим пример. (Этот пример решает учитель, подробно объясняя каждый этап решения).

Выполнить деление многочлена Р(х)= 2х3-3х+5 на многочлен Q(х)= х-4.

Решение. Выполним деление «уголком»:
Ответ: М(х)= 2х3+8х+29,R(х)= 121, где R(х) – остаток от деления. С помощью схемы Горнера получим

2 0 -3 5

4 2 8 29 121

Р(х)= (х-4)( 2х3+8х+29) +121

Давайте запишем в тетрадях алгоритм вычисления по схеме Горнера:



  1. под первым коэффициентом делимого а0 (в данном случае а0 =2) пишется ещё раз этот коэффициент;

  2. под коэффициентом а1 ( в нашем случае а1= 0) пишется число в101 ( в нашем случае 8=2·4=0);

  3. под коэффициентом а2 ( в нашем случае а2= -3) пишется число в21в+а2 ( в нашем случае 29=8·4-3);

  4. под коэффициентом а3 ( в нашем случае а3= 5- свободный член) пишется число в32в+а3 ( в нашем случае 121=29·4+5), в3=R - остаток;

Пример. Решить уравнение .

Решение. Замечаем, что х=1 – корень уравнения, поскольку . Значит, по теореме Безу, данный многочлен делится «нацело» на двучлен (х-1). Проведём деление



Итак, . Дальнейшее разложение на множители осуществляется стандартным образом после решения уравнения Таким образом, получена совокупность уравнений Ответ: 1;


3. Следующий пример решает ученик у доски. Решить уравнение

3 - х2 - 4х + 2=0 Решение. Заметим, что х=1 – корень данного уравнения,


так как 313-12-41+2=0. Значит, по теореме Безу, данный многочлен делится «нацело» на двучлен (х-1). Разделим один многочлен на другой.

Итак, 3х3 - х2 - 4х + 2=(х-1)(3х2+2х-2). После решения уравнения 3х2+2х-2 получим х1=, х2=. Таким образом, получена совокупность уравнений



Ответ: 1,

Пример (Этот пример решает у доски ученик с помощью учителя).

Решить уравнение

Ученик. Прибавим и отнимем 16, а число 63 представим в виде 64 – 1. Получим: .

Сгруппируем первые два слагаемых с пятым, а третье и четвёртое – с шестым. Тогда разность можно переписать в виде разности квадратов и воспользоваться формулой разложения на множители .

В данном случае . Мы снова пришли к совокупности уравнений

Но ни одно из не имеет действительных корней, так как для первого D = 16 - 28<0, для второго D = 16 – 36 < 0. Ответ: нет действительных корней.

4. Учитель подводит итоги урока и выставляет оценки за работу на уроке.

5. Домашнее задание: Решить следующее уравнение методом разложения:

а) х³ + х² - 9х - 9 =0

Решение. Воспользуемся методом разложения на множители. Получим

х³ + х² - 9х - 9 =0 <-> х²(х+1)-9(х+1)=0 <-> (х+1)(х²-9)=0 <-> х+1=0

х²-9=0


х=-1,х=-3,х=3. Ответ: -1,-3,3.

б) Решить уравнение с помощью схемы Горнера х3-5х2+3х+1=0.



Решение. х=1 корень данного уравнения, значит можно согласно теореме Безу разделить многочлен х3-5х2+3х+1=0 на х-1.

Таким образом, х3-5х2+3х+1=(х-1)(х2-4х-1), решив уравнение х2-4х-1=0 получим х1=, х2=, х1= , х2=. Получена совокупность уравнений Ответ: 1; 2.
скачать


Смотрите также:
Разработка урока по теме «Решение уравнений различными методами» Обобщающий урок. «Решение уравнений различными методами»
56.1kb.
«Решение иррациональных уравнений» Учитель: Бондаренко А. С. 2012-2013 учебный год Тема урока: «Решение иррациональных уравнений»
40.66kb.
Конспект урока-путешествия по математике в 6-м классе по теме «Решение уравнений»
78.92kb.
«Решение тригонометрических уравнений» Учитель сш №19 Чиротич О. А. 2005 Тема урока : «Решение тригонометрических уравнений» Тип урока : урок-консультация. Цели и задачи урока
74.36kb.
Урока по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»
65.38kb.
Лекция «Целые рациональные уравнения»
786.85kb.
Конспект урока Класс: 11 физико-математический профиль. Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений Тип : Урок обобщения и систематизации знаний
159.55kb.
Практикум по алгебре в 8 классе «Решение дробных рациональных уравнений»
64.48kb.
Решение рациональных уравнений. Решение нелинейных уравнений
107.13kb.
Урок по теме: Решение показательных уравнений.(11 класс) Учитель математики: Косоухова Л. Ю. Цель урока: Повторить, отработать и обобщить способы решения показательных уравнений
43.42kb.
«Решение уравнений высших степеней»
57.47kb.
Элективный курс по математике «Решение уравнений и неравенств с параметрами. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»
37.2kb.