Главная стр 1
скачать
/Лабораторная работа 2. Решение рациональных уравнений. Решение нелинейных уравнений
Цель: Освоить приемы решения алгебраических и нелинейных уравнений средствами интегрированной среды MathCad.
Задание1: Решить уравнение .
Методика выполнения задания:
Для решения алгебраических уравнений, например квадратных и кубических, а также для вычисления корней полинома очень удобно использовать возможности символьного процессора. Символьными называют такие вычисления, результаты которых представляются в аналитическом виде, то есть в виде формулы. В данном случае речь идет о команде Solve (решить), которая входит в Математическую палитру интегрированной системы MathCad.

Рассмотрим решение уравнения, предложенного в задании с помощью функции Solve:



  1. Зададим функцию уже известным нам способом;

  2. Определим место вывода результатов решения данного уравнения и выберем команду Solve на панели инструментов Символика, входящей в состав Математической палитры программы MathCad. В появившемся шаблоне функции зададим имя функции, и имя переменной относительно которой ведется решение алгебраического уравнения. Результаты отображены на рис ().


Рис. Решение алгебраического уравнения с помощью функции solve


Варианты индивидуальных заданий
Решить уравнение f(x)=0.


В

f(x)=0

В

f(x)=0

1.



16.



2.



17.



3.



18.



4.



19.



5.



20.



6.



21.



7.



22.



8.



23.



9.



24.



10.



25.



11.



26.



12.



27.



13.



28.



14.



29.



15.



30.





Задание2: Решить нелинейное уравнение .
Методика выполнения задания:

Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью (не более значения, заданного системной переменной TOL).

Для простейших уравнений вида f(x)=0 решение находится с помощью функции root(выражение, имя_переменной, а, b), где а,b – пределы интервала изоляции корня, которые позволяют избежать вывода корней, не представляющих интереса при решении задач – например физических.

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение равно нулю и реализует вычисления итерационным методом (рис. ()).



Рис. Пример решения уравнения с помощью функции root


Для графического решения уравнения необходимо:

  1. преобразовать уравнение к виду f(x)=0 и построить график функции f(x);

  2. используя трассировку определить значение точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Второй этап реализуется в свою очередь в несколько шагов, а именно:

    1. выделим область графика функции и активизируем динамическую кнопку Масштаб , расположенную на панели инструментов Графики;

    2. затем увеличим участок пересечения графика функции с осью ОХ (рис. ()), для этого необходимо протащить мышью по полю графика, заключив в рамку исследуемую область, при этом в окне просмотра отображаются минимальные и максимальные значения Х и У, определяющие область просмотра. Кнопки Zoom, Uzoom и FullView позволяют соответственно увеличить выделенную часть графика, снять выделение и вернуться к просмотру всего графика.

Рис. Пример увеличения участка графика


После нажатия на кнопку Zoom график функции принимает следующий вид (рис. ()). Для получения более точного результата полученный участок пересечения графика функции с осью ОХ важно увеличить аналогичным образом еще несколько раз, для данного примера остановимся на участке, отображенным на рис. ().




Рис. Участок графика после

первого увеличения




Рис. Участок графика после

многократного увеличения







  1. трассировка увеличенного участка осуществляется с помощью динамической кнопки Слежение , расположенной на панели инструментов Графики. Трассировка начинает работать после выделения графика. При этом в окне графика появляется большое перекрестие из двух черных пунктирных линий. С помощью указателя мыши его можно перемещать по графику с дискретностью, определяемой заданным шагом изменения абсциссы х. При этом координаты текущей точки ближайшей кривой графика, на которую установлено перекрестие, отображаются в окне трассировки. Это позволяет в приближении выявить координаты особых точек графика, в данном случае решение уравнения f(x)=0. Кнопки Copy X и Copy Y позволяют занести соответствующие координаты в буфер обмена. Кнопка Close завершает трассировку и закрывает окно трассировки. Если установлен флажок Trace Data Point, то при трассировке указатель автоматически устанавливается на точку ближайшей кривой, отслеживая ее ход. При снятом флажке указатель может быть установлен в любую точку области графика, при этом координаты этой точки отображаются в окне трассировки.

В нашем случае при трассировке получаем следующий результат рис.().

Рис. Трассировка увеличенного участка графика

Таким образом, при решении трансцендентного уравнения первым способом, то есть с помощью встроенной функции Root получено решение х=1,592, а графическим способом получен результат х=1,5924.

Для поиска всех корней обычного полинома p(x) степени n MathCad поддерживает функцию polyroots(V), которая возвращает вектор всех корней полинома степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину n+1.

Замечание: Не рекомендуется использовать эту функцию, если степень полинома выше пятой-шестой, так как трудно получить малую погрешность вычисления корней.

Задание 3: Найти корни уравнения х3+3х – 20=0


  1. методом половинного деления;

  2. методом хорд;

  3. методом Ньютона;

  4. методом простых итераций.


Методика выполнения задания:


  1. Метод половинного деления

Метод половинного деления определяет линейную, но безусловную сходимость. Находим середину [a, b] .

f(a), f(c1), f(b) – выбор части, где знаки различны . Получим последовательность с1, с2, …,сn определяющую корень. Для того чтобы определить значение корня с установленной точностью используют соотношение - точность. Число итераций для достижения заданной точности определяется


2. Метод хорд



3. Метод Ньютона

f(x)= найдем решение уравнения на [a, b], функция непрерывна и ограничена, f(a)∙f(b)<0 существует первая и вторая производные в каждой точке этого отрезка, тогда если считать, что точка х0- начальное приближение такое, что f(x0)∙f′′(x0)>0, то данное уравнение можно вычислить методом Ньютона.




4. Метод простых итераций

Преобразовать функцию f(x) к виду fi(x) можно двумя способами:



  1. Выразить х из уравнения f(x)=0 так, чтобы для полученного уравнения

х=f(x) выполнялось условие сходимости │fi′(x)│<1 в окрестности искомого корня.

2) Заменить уравнение fi(x)=0 на равносильное x=x+c∙fi(x), где c=const≠0. Тогда, принимая правую часть этого уравнения за fi(x) и раскрывая │fi′(x)│=│1+c∙fi′(x)│<1 , получаем условие -2

Варианты индивидуальных заданий

Построить график функции f(x) на заданном интервале [a,b], графически определить корень уравнения f(x)=0; найти корень уравнения с помощью функции root$ уточнить корень уравнения с точностью до =0,001 методами половинного деления, хорд, Ньютона, простых итераций.




В

f(x)=0

[a,b]

1


[-5;0]


2



[0.3; 3]


3


[0; 2]



4



[0;2]

5


[0; 2]



6



[-2; -1]

7


[0.2; 2]



8



[-2; 0]

9



[0.2; 3.2]




10



[0.2; 3.2]


11



[2; 4]


12


[-2; 0]


13


[-2.27; 0.72]




14



[3.2; 6.2]

15



[1; 4]



16


[0.2; 3.2]




17


[0.2; 3.2]




18



[0.2; 3.2]


19

3 ln 2 x + 6 ln x – 5 = 0


[0.2; 3.2]



20



[0.2; 3.2]




21




[-4.3; -2.3]




22



[3.57; 6.57]

23


[-2.4; 0.57]



24


[-2; 0]


25




[0.2; 3.2]




26



[0.2; 3.2]


27



[0;2]

28



[0.3; 3]

29



[-2; 0]

30



[0;2]

скачать


Смотрите также:
Решение рациональных уравнений. Решение нелинейных уравнений
107.13kb.
Лекция «Целые рациональные уравнения»
786.85kb.
Практикум по алгебре в 8 классе «Решение дробных рациональных уравнений»
64.48kb.
«Решение иррациональных уравнений» Учитель: Бондаренко А. С. 2012-2013 учебный год Тема урока: «Решение иррациональных уравнений»
40.66kb.
Решение систем нелинейных уравнений Цель: Освоить приемы решения систем нелинейных уравнений средствами интегрированной среды
46.22kb.
Конспект урока-путешествия по математике в 6-м классе по теме «Решение уравнений»
78.92kb.
«Решение уравнений высших степеней»
57.47kb.
Элективный курс по математике «Решение уравнений и неравенств с параметрами. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»
37.2kb.
Разработка урока по теме «Решение уравнений различными методами» Обобщающий урок. «Решение уравнений различными методами»
56.1kb.
Лабораторная работа №5 Численные методы решения систем нелинейных уравнений
41.45kb.
Решение систем уравнений
554.69kb.
Решение квадратных уравнений
167.39kb.