Главная стр 1
скачать


План урока

на тему: «Теорема Пифагора».

Авторы:

Ремизов Илья

Шикин Владимир

Н.Новгород, 2005г.


Тип урока: урок изучения нового.
Цели урока:

  1. Доказать т.Пифагора и сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора.

В результате ученик:

  1. Знает о существовании т. Пифагора и теореме, обратной ей.

  2. Знает формулировку т. Пифагора и обратной теоремы.

  3. Знает метод доказательства теоремы Пифагора.

  4. Знает, задачи какого типа позволяют решать изученные теоремы.

  5. Осознаёт, что теорема Пифагора – свойство прямоугольного треугольника, а теорема, обратная ей – признак прямоугольного треугольника.



Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Мотивационно-ориентировочная часть.

- Здравствуйте, дети! Дома вы повторяли определения треугольника и квадрата а также формулы нахождения площадей этих фигур.

Итак, ХХХ, какой треугольник называется прямоугольным.



- Прямоугольным называется треугольник у которого один из углов прямой (равен 90º).

- По какой формуле находится площадь такого треугольника?

- Половина произведения катетов.

- А какая фигура называется квадратом?

- Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

- Верно! Пользуясь какой формулой мы находим его площадь.

- Площадь квадрата равна квадрату стороны.

- Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. Предметом нашего исследования будут прямоугольные треугольники. Назовите элементы прямоугольного треугольника?

- Стороны, прилежащие к прямому углу – катеты, а третья сторона – гипотенуза.

/на боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон/



- Обратите внимание на левую доску. Что нам дано?


- На боковой доске даны изображения прямоугольных треугольников с указанными длинами сторон.

- Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.





/заполнение таблицы. 1-й, 2-й, 3-й ряды ищут квадраты катетов и гипотенузы в 1-м, 2-м и 3-м треугольниках соответственно/



a2

b2

c2

1.










2.










3.













- Итак, на основе таблицы выявите связь между катетами и гипотенузой в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

– Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

- Совершенно верно. Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. Теорема эта, отражающая связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике, называется теоремой Пифагора.

Давайте запишем её полную формулировку в тетрадях.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

/Историческая справка/

- Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. Пифагор, по-видимому, просто нашёл доказательство этого соотношения.

- Какова же тема нашего сегодняшнего урока, на ваш взгляд?



– Теорема Пифагора.



– Правильно. Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.




/правая боковая сторона доски с треугольником/




- Нам дан прямоугольный треугольник АВС, ВС=a, АС=b и АВ=с, как показано на доске. Зарисуйте его себе в тетрадях.

Теперь запишем, что нам надо доказать.

ХХХ, что мы здесь запишем?


- с2=a2+b2

/У. под диктовку ХХХ на доске, а дети в тетрадях записывают то, что надо доказать/

- Итак, записываем: Доказательство.

Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a+b следующим образом.

Продолжим стороны АС и ВС за точки А и В соответственно, от точки А на продолжении стороны АС отложим отрезок, равный а, а от точки В на продолжении стороны ВС отрезок, равный b. Обозначим полученные точки D и E соответственно. Через Е проведём прямую, параллельную АС, а через точку D прямую, параллельную СВ. Обозначим точку пересечения проведённых прямых за F. От точки F на отрезке DF отложим отрезок, равный а, а на отрезке FE, отрезок, равный b. Обозначим получившиеся точки М и К соответственно. Проведём отрезки АМ, МК и ВК.









- Из каких фигур состоит полученный квадрат?

– Из 4-х треугольников и одного четырёхугольника.

– Как связаны между собой эти треугольники?

– Они равны.

– Почему?

– По первому признаку равенства треугольников. У каждого треугольника есть сторона равная a, сторона равная b и между ними в каждом из треугольников заключён угол равный 90º.

– Правильно. А что следует из этого равенства?

– Следует равенство соответствующих сторон и углов треугольников.

– Верно. Давайте полученные равные стороны в треугольниках я на доске вы в тетрадях отметим и обозначим за c. Какие же углы будут равными?

Для удобства обозначим углы цифрами 1-8 следующим образом.

Сейчас ХХХ будет называть нам равные углы, а вы их отмечайте на своих рисунках в тетрадях.


– Углы 1,3,5,7 и углы 2,4,6,8.

– Обратим внимание на четырёхугольник. Что нам о нём известно?

– У него все стороны равны.

– Чем может являться четырёхугольник, у которого все стороны равны?

– Ромбом или квадратом.

– Что ещё нам нужно узнать об этом четырёхугольнике, чтобы однозначно установить ромб это или квадрат.

– Нужно установить величины углов.

– Попробуйте это сделать.

– Каждый из углов четырёхугольника равен 180 минус сумма углов, например, 2 и 3, т. е. они равны 90, следовательно, данный четырёхугольник – квадрат.

– Чему равна площадь большего квадрата?



– (a+b)2

– А как ещё можно найти эту площадь?

– Как сумму площадей фигур, входящих в его состав.


– Давайте найдём эти площади.

– Площадь маленького квадрата с2, а площадь каждого треугольника (ab)/2.

– Таким образом чему равна площадь большого квадрата?

– с2 +4(ab)/2 или с2 +2(ab).

– Итак, с одной стороны мы получили, что площадь большого квадрата равна (a+b)2, а с другой - с2 +2(ab). Т.е. получили равенство: (a+b)2= с2 +2(ab).

Упростите полученное равенство. Что у вас получилось? ХХХ?



– a2+b22.

– А что требовалось доказать?

– Это и требовалось!

– Именно, т.о. теорема доказана. Каким методом мы пользовались при доказательстве этой теоремы?

– Мы пользовались методом площадей.

- В чём заключается суть данного метода?

- Суть данного метода состоит в том, что


– Давайте вспомним, какие типы теорем нам известны?

– Нам известны теоремы-признаки и теоремы-свойства.

– Свойством или признаком является теорема, доказанная нами только что?

– Теорема Пифагора – свойство прямоугольного треугольника.

– Какие задачи мы можем решать с помощью т.Пифагора?

– Можем находить 3 сторону в прямоугольном треугольнике по 2-м данным.

– Приведите пример такой задачи.

– В прямоугольном треугольнике даны катеты, найти гипотенузу.

– Давайте решим эту задачу. ХХХ, иди к доске!




/ХХХ послабже выбирается с последней парты к доске/

– Молодец, садись.






- Теперь решим такую задачу.




/разворачивается левая половина доски, там рисунок/





- Напишите слово задача в тетрадях, перенесите к себе этот рисунок и скажите, глядя на рисунок, что нам дано, и что надо найти?


- Нам дан треугольник ABC, точка D принадлежит стороне AC, AB=5, AD=4, CD=9 и BD=3. Найти BC.

- Запишите данные в тетрадь. Можем ли мы воспользоваться теоремой Пифагора?

– Нет.

- Какое условие нам необходимо, чтобы можно было воспользоваться теоремой Пифагора?

– Необходимо, чтобы угол BDC был прямой.

– То есть надо установить, что треугольник BDC (или ADB) – прямоугольный. Какие теоретические положения позволяют нам установить это?

– Определение прямоугольного треугольника.

– Можем мы установить данный факт, используя определение?

– Нет.

– Кроме определений, какие теоретические факты позволяют нам отнести тот или иной математический объект к какой-либо группе математических объектов.

– Теоремы признаки.


– С какими теоремами бывают связаны теоремы-признаки?

– С теоремами-свойствами.

– И как может быть связана теорема-признак с теоремой-свойством?

– Теорема-признак может быть обратной теореме-свойству.

– В нашем случае, можем ли мы составить теорему, обратную теореме Пифагора, получив тем самым теорему-признак?

– Да.

– ХХХ, сформулируйте!

– Если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный.

- Минуточку, а в каком треугольнике мы называем стороны катетами и гипотенузой?

- В прямоугольном.

- А вы в своей формулировке назвали катетами и гипотенузой стороны произвольного треугольника. Исправьте свою ошибку.

– Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

- Да, действительно сформулированная теорема является признаком прямоугольного треугольника. Запишите её формулировку в тетради, а дома, пользуясь учебником, ознакомьтесь с её доказательством.


– по признаку прямоугольного треугольника ABD – прямоугольный, значит треугольник BDC – тоже прямоугольный. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения стороны BC.



– А теперь вернёмся к нашей задаче и решим её, используя теорему-признак.

- BC=.

– Итак, подведём итоги урока. Скажите, чем мы занимались сегодня на уроке.

– Сегодня мы познакомились с двумя теоремами – признаком и свойством (т.П.) прямоугольного треугольника.

– Сформулируйте теорему Пифагора.

– В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

- Какие задачи позволяет нам решить эта теорема?


– Мы можем находить третью сторону прямоугольного треугольника по двум заданным.

– Правильно. Кроме т. Пифагора, какую теорему мы рассмотрели?


– Мы рассмотрели признак прямоугольного треугольника.

– Сформулируйте его.

– Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

– Что позволяет нам сделать эта теорема?

– С помощью этой теоремы мы можем определить, является треугольник прямоугольным или нет.

- Как вы думаете, чем мы будем заниматься на следующем уроке?

- Очевидно, мы будем решать задачи на применение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы.

- Совершенно верно.






скачать


Смотрите также:
Конспект урока геометрии в 8 классе теорема пифагора учитель математики и физики Сычева Н. Е. Тема урока: «теорема пифагора»
104.71kb.
Теорема Пифагора и числа Фибоначчи
151.93kb.
Теорема Пифагора
109.53kb.
Урок по теме «Теорема Пифагора»
49.32kb.
Урок математики в 8 классе по теме «Теорема Пифагора»
54.54kb.
Урок 27. Урок-путешествие по теме "Теорема Пифагора"
75.43kb.
Азовательная школа №92 X школьная научно-практическая конференция теорема пифагора вне школьной программы
247.73kb.
Для достижения поставленной цели, я определила для себя ряд задач
21.64kb.
Конспект урока по теме: «Теорема Пифагора»
256.28kb.
«Теорема Пифагора»
87.18kb.
Площади фигур и теорема Пифагора
50.8kb.
Урок геометрии в 8 классе по теме «Теорема Пифагора»
57.39kb.