Главная стр 1
34. Примеры. 1) Аналогично доказанному в пункте 30, 5) предельному соотношению

можно получить более общее:



Требуется для заданного [Причем ничто не мешает нам считать ε < 1.] найти такое δ>0, что



Но первое из этих неравенств или равносильные ему неравенства



Выполнятся, если



Так как


упомянутые неравенства и подавно выполнятся, если



Итак, стоит лишь положить чтобы при было . Этим завершается доказательство.

2) Докажем, что

При любом достаточно взять , чтобы



что и доказывает наше утверждение [С более частным результатом мы уже имели дело в пункте 31].

Аналогично доказывается, что

Именно, каково бы ни было (), если



То при необходимо .

Если же , то с помощью преобразования

легко установить результаты



3) Установим, что при



При любом ,заданном , лишь только, будем иметь: и, аналогично, лишь только выполняется неравенство . Этим и доказаны оба соотношения.

4) Имеем, далее,

Остановимся для примера на первом пределе. При любом достаточно взять , чтобы было: . так что



5) Теперь мы установим следующий (важный и для дальнейшего) результат:

(9)

Предварительно, однако, нам придется доказать некоторые полезные неравенства:



с этой целью в кpyгe радиуса R рассмотрим острый угол АОВ, хорду АВ и касательную АС к окружности в точке А (рис. 19). Тогда имеем: площадь площади сектора АОВплощадя .

Если через х обозначить радианную меру угла АОВ, так что длина дуги АВ выразится произведением Rx, то эти неравенства перепишутся так:



В предположении, что , разделим на каждый из членов неравенств (10). Мы получим



откуда


Но

[в силу (10)], так что

Отсюда вытекает неравенство



которое, очевидно, сохранится и при изменении знака x, т. е. будет справедливо для всех , лишь только ·

Полученное неравенство и решает вопрос. Действительно, если по произволу задано число ε> 0, то за Δ достаточно выбрать наименьшее из чисел ε, : прежде всего, применимо это неравенство и именно в силу него (так как ).

6) Интересен, наконец, и пример, когда предел функции не сушествует: функция sin х при стремлении х к вовсе не имеет предела.

В отсутствии предела вceгo проще убедиться, стоя на «точке зрения последовательностей». Достаточно заметить, что двум последовательностям

значений х, имеющим пределом + ∞, отвечают последовательности значений функции, стремящиеся к различным пределам:



Если вспомнить «колебательный» характер синусоиды, то отсутствие предела в рассматриваемом случае станет наглядным.

Аналонгично, и функция  при стремлении а к нулю (как при а>0, так и при а<0) предела не имеет. Это, в сущности, лишь другая форма приведенного выше примера: стоит лишь в функции sin х заменить х на Очевидно, если а пробегает последовательность положительных (отрицательных) значений, приближающихся к нулю, то стремится к , И обратно.

Напишем снова в выражении вместо буквы α букву х (чтобы вернуться к привычному обозначению абсциссы) и рассмотрим поучительный график функции



огранчиваясь значениями x от 0 до ; (и от до 0).

Отметим последовательно убывающие до 0 значения x:

им отвечают растущие до +∞ значения  :



в промежутках между указанными значениями (при убывании х) наша функция попеременно убывает от 1 дo 0 и от 0 до -1, затем возрастает от  1 до 0 и от 0 до 1 и т. д. Таким образом, функция  производит бесконечное множество колебаний, подобно функции sin x но, в то время как для последней эти колебания распределяются на бесконечный промежуток, здесь они все умещаются в конечном промежутке, сгущаясь к нулю.



график изображен на рис. 20 (разумеется, не полностью бесконечное множество колебаний воспроизвести не возможно). Так как при изменении знака х и  меняется знак, то левая половина графика симметрична с правой относительно начала.

7) Если для рассмотреть функцию , которая отличается множителем х от только что изученной функциито на этот раз предел при cуществует:

что сразу ясно из неравенства



При приближении х к нулю, наша функция по-прежнему производит бесконечное множество колебаний, но их амплитуда (благодаря множителю х) убывает, стремясь к нулю, чем и обеспечивается существование предела.

График функции

изображен на рис. 21; он умещается между двумя биссектрисами и координатных углов.

3АМЕЧАНИЕ. Мы имели пределы

объединенные одной особенностью: ни одна из рассматриваемых здесь функций не определена при . Но это нисколько не мешает говорить



об их пределах при , ибо, согласно точному смыслу данного выше определения, как раз значение при этом не рассматривается.



Аналогично, то обстоятельство, что функция  не имеет смысла х при , не мешает ставить вопрос об ее пределе при ; но на этот раз предел оказывается несуществующим.


Смотрите также:
1 Аналогично доказанному в пункте 30, 5 предельному соотношению
41.43kb.
Лекция № Какие этапы выделяют в развитии современной коммуникативистики? Дайте их характеристику
65.58kb.
О Консультативном пункте для родителей
31.88kb.
Положение о логопедическом пункте моу рощинская сош №17
153.84kb.
Положение о консультативном пункте для родителей детей не посещающих доу
59.24kb.
Примерное положение о консультативном пункте психолого-педагогической и медико-социальной помощи семьям
80.68kb.
Расчет по постоянному току
15.59kb.
Расчет схемы по переменному току
19.32kb.
Положение о консультационном пункте для родителей (законных представителей) и детей, воспитывающихся в условиях семьи положение
173.01kb.
Вопросы отборочного тура
74.36kb.
О логопедической службе
263.64kb.
О логопедической службе
176.11kb.