Главная стр 1
скачать

1. Понятие последовательности. Предел последовательности. Свойства предела.


2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Связь между ними. Сходящиеся. Последовательность (αn)назыв.бесконечно малой, если для любого положительного числа ξ сущ номер N такой, что при n больше N выполняется неравенство /αn/ меньше ξ. Символическая запись определения бесконечно малой последовательности: (любаяξ больше 0) (существует N)(любая п больше N): / αn /больше ξ.


3. последовательности. Связь между сходящимися и бесконечно малыми последовательностями.


4. Первый замечательный предел. Так называют легко выводимую в курсе математического анализа формулутекст,где аргумент х измеряется в радианах (см. также Неопределенные выражения (неопределенности)).Из первого замечательного предела следует эквивалентность при х →0 следующих бесконечно малых величин: ах, sinax; tgax; arcsinax; arctgax. Это означает, что предел отношения двух любых из этих функций при х →0 равен 1.С помощью этого соотношения можно вычислить массу других неопределенностей, которые без применения первого замечательного предела вычислялись бы сложнее.

 Первым замечательным пределом называется пределhttp://www.mathmath.ru/img1135.png              Теорема 2 . 14   Первый замечательный предел равен http://www.mathmath.ru/img1136.pnghttp://www.mathmath.ru/img1137.png          Доказательство .     Рассмотрим два односторонних пределаhttp://www.mathmath.ru/img1138.png и http://www.mathmath.ru/img1139.png и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел http://www.mathmath.ru/img1140.png также будет равняться 1. Итак, пусть http://www.mathmath.ru/img1141.png(этот интервал -- одно из окончаний базы http://www.mathmath.ru/img1113.png ). В тригонометрическом круге (радиуса http://www.mathmath.ru/img1142.png ) с центром http://www.mathmath.ru/img144.png построим центральный угол, равный http://www.mathmath.ru/img30.png , и проведём вертикальную касательную в точке http://www.mathmath.ru/img1143.png пересечения горизонтальной оси с окружностью ( http://www.mathmath.ru/img1144.png ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона http://www.mathmath.ru/img30.png с окружностью буквой http://www.mathmath.ru/img1145.png , а с вертикальной касательной -- буквой http://www.mathmath.ru/img1146.png ; через http://www.mathmath.ru/img1147.pngобозначим проекцию точки http://www.mathmath.ru/img1145.png на горизонтальную ось.http://www.mathmath.ru/s2image027.png Рис. 2 . 27 .Тригонометрический круг Пустьhttp://www.mathmath.ru/img1148.png  -- площадь треугольника http://www.mathmath.ru/img1149.png , http://www.mathmath.ru/img1150.png  -- площадь кругового сектораhttp://www.mathmath.ru/img1149.png , а http://www.mathmath.ru/img1151.png  -- площадь треугольника http://www.mathmath.ru/img1152.png . Тогда очевидно следующее неравенство: http://www.mathmath.ru/img1153.png Заметим, что горизонтальная координата точки http://www.mathmath.ru/img1145.png равна http://www.mathmath.ru/img1154.png , а вертикальная -- http://www.mathmath.ru/img1155.png (это высота треугольника http://www.mathmath.ru/img1149.png ), так что http://www.mathmath.ru/img1156.png . Площадь центрального сектора круга радиуса http://www.mathmath.ru/img1157.png с центральным углом http://www.mathmath.ru/img30.png равна http://www.mathmath.ru/img1158.png , так чтоhttp://www.mathmath.ru/img1159.png . Из треугольника http://www.mathmath.ru/img1152.png находим, что http://www.mathmath.ru/img1160.png . Поэтомуhttp://www.mathmath.ru/img1161.png Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде http://www.mathmath.ru/img1162.png Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так: http://www.mathmath.ru/img1163.png или (умножив на http://www.mathmath.ru/img70.png ) так: http://www.mathmath.ru/img1164.png Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при http://www.mathmath.ru/img1113.png предел http://www.mathmath.ru/img365.png в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части http://www.mathmath.ru/img957.png также будет равен 1. Итак, осталось доказать, что http://www.mathmath.ru/img1165.png. Сперва заметим, что http://www.mathmath.ru/img1166.png , так как http://www.mathmath.ru/img30.png равняется длине дуги окружности http://www.mathmath.ru/img1167.png , которая, очевидно, длиннее хорды http://www.mathmath.ru/img1168.png . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству http://www.mathmath.ru/img1169.png при http://www.mathmath.ru/img1113.png , получаем, чтоhttp://www.mathmath.ru/img1170.png ( 2 .3) Простая замена переменной http://www.mathmath.ru/img1171.png показывает, что иhttp://www.mathmath.ru/img1172.png . Теперь заметим, что http://www.mathmath.ru/img1173.png . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:http://www.mathmath.ru/img1174.png ( 2 .4) Тем самым показано, что http://www.mathmath.ru/img1175.png Сделаем теперь замену http://www.mathmath.ru/img1123.png ; при этом база http://www.mathmath.ru/img1113.png перейдёт в базу http://www.mathmath.ru/img959.png (что означает, что если http://www.mathmath.ru/img1176.png , тоhttp://www.mathmath.ru/img1177.png ). Значит, http://www.mathmath.ru/img1178.png но http://www.mathmath.ru/img1179.png ( http://www.mathmath.ru/img486.png  -- нечётная функция), и поэтому http://www.mathmath.ru/img1180.png Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.      Доказанная теорема означает, что график функции http://www.mathmath.ru/img955.png выглядит так:http://www.mathmath.ru/s2image028.png Рис. 2 . 28 .График http://www.mathmath.ru/img955.png

Второй замечательный предел существует. Его значение http://www.mathmath.ru/img1202.png  -- число, лежащее между http://www.mathmath.ru/img1203.png и http://www.mathmath.ru/img1204.png .     Более подробное изучение числа http://www.mathmath.ru/img1202.png показывает, что http://www.mathmath.ru/img1202.png  -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы: http://www.mathmath.ru/img1205.png Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона .         Лемма 2 . 2   Пусть http://www.mathmath.ru/img1206.png и http://www.mathmath.ru/img47.png  -- натуральное число. Тогда имеет место формула http://www.mathmath.ru/img1207.pngЗаметим, что в дроби http://www.mathmath.ru/img1208.png очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный http://www.mathmath.ru/img47.png , в третьем справа слагаемом -- равный http://www.mathmath.ru/img1209.png , и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают.          Доказательство .     Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру http://www.mathmath.ru/img47.png . При http://www.mathmath.ru/img299.png формула 2.2 , очевидно, верна:http://www.mathmath.ru/img1210.png (Заметим, что при http://www.mathmath.ru/img300.png и http://www.mathmath.ru/img1211.png формула 2.2 также хорошо известна: http://www.mathmath.ru/img1212.png и http://www.mathmath.ru/img1213.pngПредположим, что она верна для http://www.mathmath.ru/img1214.png , и докажем, что тогда она верна и приhttp://www.mathmath.ru/img1215.png . Действительно,http://www.mathmath.ru/img1216.png При этом в квадратных скобках получается: http://www.mathmath.ru/img1217.png    http://www.mathmath.ru/img1218.png    http://www.mathmath.ru/img1219.png     и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при http://www.mathmath.ru/img1215.png . 

5. Определение производной. Таблица производных с выводом всех формул.  Производной функции f(x) в точке х=х0 называется отношение приращения функции http://alexlarin.narod.ru/abitur/razdel8.files/image025.gif в этой точке к приращениюhttp://alexlarin.narod.ru/abitur/razdel8.files/image010.gif аргумента, при стремлении последнего к нулю. http://alexlarin.narod.ru/abitur/razdel8.files/image028.gif



http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika/1.4.2.4.gif

http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika/1.4.2.5.gif http://www.bgsha.com/ru/learning/images/matematika/1.4.2.9.gif

6. Производная сложной функции. Двухслойная" сложная функция записывается в виде

http://www.math24.ru/images/5der1.gif

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f


Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция http://www.math24.ru/images/5der2.gif также дифференцируема по x и ее производная равна

http://www.math24.ru/images/5der3.gif

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)

Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. 

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование". 




7. Производная обратной функции. Пусть ~y=f(x) - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале ~(a,b). Если в уравнении ~y=f(x) y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция ~x=\phi(y), где ~f[\phi(y)]\equiv y - функция обратная данной. Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

~y\'_x=\frac{1}{x\'_y}


8. Непрерывные функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность дифференцируемой функции.Функция, непрерывная на отрезке [ab], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ab], то найдётся хотя бы одна точка x1  [ab] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x).http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture04/l04image002.gif



Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x)принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'.


9. Правила дифференцирования. Если функции f и g дифференцируемы в точке x0 то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ghttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(x0)http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/144/char36.png=0) этих функций, причем 1.(f+g)http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png=fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png+ghttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png 2. (fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/144/char01.pngg)http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png=fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/144/char01.pngg+fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/144/char01.pngghttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png 3.(fg)http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png=g2fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/70/char30.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char01.pnggfhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char01.pngghttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/70/char30.png

Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: (Cf)= Cf'. В частности, С'=0 Если дифференцируема, 


то fn где nhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/144/char32.pngN также дифференцируема, причем(fn)http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png=nfn−1fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки x0 причем fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(x0)http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/144/char36.png=0, то функция x = http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmmi10/alpha/144/char1e.png (y),обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y0 = f (x0), причем http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmmi10/alpha/144/char1e.pnghttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(x0)=1fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/70/char30.png(x0).

Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x0 и y0 = f (x0) соответственно, то сложная функция z = g ( f (x)) дифференцируема в точке x 0, причем zhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(x0)=ghttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(y0)http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/144/char01.pngfhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(x0).

Дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид dy=fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(x)dx как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

Если (x) – четная функция, то fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(x) – нечетная; если(x ) – нечетная функция, то fhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(x) – четная.

Пусть в окрестности точки t 0 определены функции x(t) и (t), причем (t) непрерывна и строго монотонна. 


Пусть в этой окрестности существуют производныеxhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(t0)http://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/144/char36.png=0 и yhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/100/char30.png(t0) 
Тогда сложная функция y = y x )), где ) – функция, обратная (t), дифференцируема по x , причем dxdy=xhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/70/char30.png(t)yhttp://uztest.ru/jsmath/jsmath/fonts/cmsy10/alpha/70/char30.png(t).


10.Теорема о прохождении через любое промежуточное значение.


11. Геометрический смысл производной. Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

ghjbpd


12. Теорема Ферма.  Теорема Ферма, - утверждение, что для любого натурального числа n > 2 уравнение xn + yn =zn (уравнение Ферма) не имеет решений в целых ненулевых числах xyz. Теорема была сформулирована Пьером Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта "Арифметика" следующим образом: "невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем". И далее добавил: "я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы". В бумагах Пьера Ферма нашли доказательство теоремы Ферма для n = 4. Нездоровый интерес к доказательству этой теоремы среди неспециалистов в области математики был в свое время вызван большой международной премией, аннулированной в конце первой мировой войны.     Предполагается, что доказательство теоремы Ферма вообще не существовало.     Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Теорему Ферма достаточно доказать для любого простого показателя n = p > 2, т. е. достаточно доказать, что уравнение xp + yp = zp     (1)не имеет решений в целых ненулевых взаимно простых числах xyz. Можно также считать, что числа x и y взаимно просты с p. При доказательстве теоремы Ферма рассматривают два случая:первый случай, когда (xyzp) = 1 и второй случай, когда p|z. Доказательство второго случая теоремы Ферма более сложно и обычно проводится методом бесконечного спуска. Существенный вклад в доказательство теоремы Ферма внес Э. Куммер, который создал принципиально новый метод, основанный на разработанной им арифметической теории кругового поля. Используется тот факт, что в оле http://www.pm298.ru/math/a0124.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0224.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0324.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0424.jpg, левая часть уравнения (1) разлагается на линейные множители http://www.pm298.ru/math/a0125.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0225.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0325.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0425.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0525.jpg, которые являются p-ми степенями идеальных чисел поля http://www.pm298.ru/math/a0126.jpg в первом случае и отличаются от p-х степеней на множитель http://www.pm298.ru/math/a0127.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0227.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0327.jpg во втором случае. Если p делит числители Бернулли чисел B2n (n = 1, 2, ..., (p - 3)/2), то по критерию регулярности p не делит число h классов идеалов поля http://www.pm298.ru/math/a0126.jpg и эти идеальные числа - главные. В этом случае Э. Куммер доказал теорему Ферма. Не известно бесконечно или конечно число регулярных чисел p (по теореме Иенсена число иррегулярных простых чисел бесконечно). Э. Куммер доказал теорему Ферма для некоторых классов иррегулярных простых чисел и тем самым установил ее справедливость для всех p < 100. В первом случае он показал, что из (1) следует выполнимость сравнений

http://www.pm298.ru/math/a0128.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0228.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0328.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0428.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0528.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0628.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0728.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0828.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0928.jpg

n = 2, 4, ..., p - 3,

справедливых при любой перестановке xy, -z. Отсюда он получил, что если в первом случае уравнение (1) разрешимо, то для n = 3, 5



http://www.pm298.ru/math/a0129.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0229.jpghttp://www.pm298.ru/math/a0329.jpg     (2)

13. Теорема Ролля.  Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если

f(a) = f(b)

то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что

f ' (x0) = 0.

  Доказательство. Рассмотрим два случая.


  1. Функция f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы Ролля выполняется автоматически.
  2. Функция f(x) не является постоянной (Рисунок 1); тогда наибольшего или наименьшего или обоих этих значений она достигает во внутренней точке интервала, ибо f(b) = f(a), и если f(a) - наименьшее значение, то наибольшее значение значение функция f(x) примет внутри интервала.

  Пусть например f(x0) - наибольшее значение функции f(x) на интервале [а, b] и x0 - внутренняя точка этого интервала. Тогдаf(x0) является максимумом функции: f(x0) і f(x) для всех x из достаточно малой окрестности x0 [за эту окрестность можно впрочем, взять интервал (а, b)].


  Так как, по условию, f(x) имеет в точке x0 производную, то потеореме о необходимом признаке экстремума,

f ' (x0) = 0,

и теорема Ролля доказана. http://mathem.h1.ru/images/dif6_1.gif




Пусть даны две функции \ f(x) и \ g(x) такие, что:

  1. \ f(x) и \ g(x) определены и непрерывны на отрезке \ [a,b];

  2. производные \ f\'(x) и \ g\'(x) конечны на интервале \ (a,b);

  3. производные \ f\'(x) и \ g\'(x) не обращаются в ноль одновременно на интервале \ (a,b)

  4. g(a) \neq g(b);

тогда

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f\'(c)}{g\'(c)}, где c \in (a,b)

(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале(a,b).)



15. Теорема Коши. Теорема Коши́ о среднем значении.

14. Теорема Лагранжа. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, bи внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что

f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).

  Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию



F(x) = f(x) - k(x - a),

где http://mathem.h1.ru/images/dif6_3.gif - угловой коэффициент хорды AB (смотри рисунок 2).


  Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
  В самом деле, при x = a имеем F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), при x = b имеем

http://mathem.h1.ru/images/dif6_4.gif

  Кроме того, так как функция f(x) и k(x - a) непрерывны на [a, b] и диференцируемы в (a, b), то и функция F(x) = f(x) - k(x - a) непрерывна на [a, b] и диференцируема в (a, b).


  Следовательно, по теореме Ролля, в интервале (a, b) найдется такая точка x0, что

F'(x0) = 0,

т.е.


f ' (x0) - k = 0

или


http://mathem.h1.ru/images/dif6_5.gif

  Отсюда имеем



f(b) - f(a) = (b - a)f ' (x0),

что и требовалось доказать.


  Так как a + (b - a) = b, то величина a + Q(b - a), где Q - правильная положительная дробь(0 < Q < 1), равна какому-то числу в интервале (a, b), поэтому формулу Лагранжа можно записать в виде

f(b) - f(a) = (b - a)f ' [a + Q(b - a)]

  Если положить a = x, b = x + Dx, откуда b - a = Dx, то формула Лагранжа запишется в виде

Dy = f(x + Dx) - f(x) = Dxf ' (x + QDx).

  Ранее было доказано, что если функция равна постоянной C при любом значении x в интервале (a, b), то ее производная равна нулю.


  Докажем теперь обратную теорему, являющуюся следствием теоремы Лагранжа:
  Если произвоодная f ' (x) обращается в нуль для любых значений x в интервале (a, b), то в этом интервале f(x) = C.
  В самом деле, если x1 и x2 - два любых значения в интервале (a, b), то в силу теоремы Лагранжа, имеем

f(x2) - f(x1) = (x2 - x1)f'(x0),

где, x1 < x0 < x2. Но так как f'(x0) = 0, то



f(x2) - f(x1) = 0,

что и доказывает нашу теорему.


   Отсюда непосредственно вытекает важная теорема:
   Если две функции f1 (x) и f2 (x) имеют одну и ту же производную в интервале (a, b), то они на данном интервале отличаются друг от друга на постоянную величину.
   В самом деле, рассмотрим функцию

j(x) = f2(x) - f1(x).

   Тогда для любого значения x из интервала (a, b)

j'(x) = f2'(x) - f1'(x) = 0.

   Но это означает, что j(x) = C и, следовательно

f2(x) - f1(x) = С.

http://mathem.h1.ru/images/dif6_2.gif


Геометрически это можно переформулировать так: если f и g задают законы движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр t), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся касательный вектор,коллинеарный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до (f(b);g(b)).

[править]Доказательство Для доказательства введём функцию



f(x) = f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а \frac {f\'(c)} {g\'(c)} равна как раз необходимому числу.

16. Первообразная. Теорема о связи двух первообразных. Первообра́зной [1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F,производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если на этом интервале существует

производная F'(x) и F'(x)=f(x).Теорема: Если F1(x) и F2(x) -первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность естьвеличина постоянная. Докозательство: По условию F'1(x)=F'2(x)=f(x) обозначим: Ф(x)= F1(x) - F2(x). Очевидно, Ф'(x)

равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F

1(x) и F2(x). Для любых х1, x2,Î (a,b) по формуле Лагранжа Ф(х1)-Ф(х2

)=Ф'(c)(b-a). но Ф'(c)=0, т.к. сÎ (a,b), следовательно Ф(х1)=Ф(х2). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F1(x) - F2(x)=С.

Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является

функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где

С - произвольная постоянная.


17. Неопределенный интеграл и его свойства.Неопределённый интегра́л для функции f(x)\, - это совокупность всех первообразных данной функции.
Если функция f(x)\, определена и непрерывна на промежутке (a,b)\, и f(x)\, — ее первообразная, то есть f\'(x) = f(x)\, при a<x<b\,, то

\int f(x) dx = f(x) + c, \,  a<x<b\,,где С — произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла


d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx

\int d(f(x)) = f(x)+c

\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx

\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx

Если \int f(x) dx = f(x) + c, то и \int f(u) du = f(u)+c, где u = \varphi (x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную



18. Таблица интегралов (и дополнительная таблица).

19. Теорема о линейной замене.

20. Определенный интеграл. Вычисление площади фигуры.

21. Несобственные интегралы. Способы их вычисления.



скачать


Смотрите также:
1. Понятие последовательности. Предел последовательности. Свойства предела
263.75kb.
Модуль к теме: «Предел последовательности» Цель
70.47kb.
Единственность предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся числовой последовательности
26.2kb.
Задача Вычислить предел последовательности. Задача Вычислить предел последовательности
34.42kb.
Практическая работа №2 Вычисление предела числовой последовательности. Вычисление предела функции
32.34kb.
Лекция Последовательности, предел последовательности
51.39kb.
Предел числовой последовательности
207.93kb.
Мотив как объяснительное понятие
81.97kb.
Исследование функции. ( 12 января 2010 года ) Предел последовательности
461.24kb.
Вопросы к гак по математическому анализу
19.9kb.
«Древнейшая Греция»
39.54kb.
Итоговый тест по разделу «Древний Восток»
36.55kb.