Главная стр 1стр 2стр 3
скачать
11)Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение.

   Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна . Пусть m - число появления события A в n опытах. Тогда для достаточно больших n случайная величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами a=M(m)=np, .

   Доказательство. Пусть - число наступления события A в i-м опыте. Тогда , (cм. § 4, п. 2, пример 2). Так как может принимать только два значения 0 и 1, то для любого i имеем . Кроме того, величина стремится к бесконечности при . Итак, последовательность случайных величин удовлетворяет условиям следствия из теоремы Ляпунова. Поэтому сумма этих величин достаточно больших n имеет распределение, близкое к нормальному, что и требовалось доказать.

   Вычислим вероятность того, что случайная величина m, т. е. число наступлений события А в n опытах, удовлетворяет неравенствам , где x1 и x2 - данные числа. Так как a=M(m)=np, (cм. § 4, п. 2, пример 2). То согласно формуле (32) получим





12) « Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной

вероятности в независимых испытаниях »

Пусть производится n независимых испытаний по схеме Бернулли, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, 0 < р <1.

Определим вероятность того ,что при n испытаниях относительная частота появления события А отличается от постоянной вероятности р не более чем на , где >0, произвольное бесконечно малое.

Рассмотрим выражение ;



Итак,

По интегральной теореме Лапласа:



(1)

С использованием формулы (1) решаются задачи трёх типов:

1) прямое применение формулы.

2) по данным условия задачи найти n – число испытаний.

3) по данным условия задачи найти .

Формула (1) имеет большое практическое применение. Покажем это на различных задачах, приведенных в параграфе.

13) « Случайные величины »

Существуют события, которые характеризуются тем или иным числовым значением.



Определение. Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение. Обозначаются случайные величины заглавными буквами X, Y, Z… В общем случае случайная величина Х может принимать в результате опыта числовые значения , , … .

Запись Х= означает, в результате опыта случайная величина приняла значение , где , , … - множество всех её возможных значений.

Итак, случайное событие характеризуется случайной величиной, которая является количественной мерой рассматриваемого случайного события. Значение, которое принимает случайная величина в результате опыта, зависит от многих причин, причём учесть до опыта все из них невозможно. Поэтому числовое значение характеризующее то или иное случайное событие, называется случайной величиной.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если на некотором промежутке она принимает только отдельное изолированное значение. Например, для двух соседних значений и существует интервал (,), в котором случайная величина не принимает ни одного значения.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если она принимает сплошь все значения из какого-нибудь промежутка. Этот промежуток может быть как конечным, так и бесконечным.

Множество всех значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным.

Из того, что множество всех значений случайной величины заключается в промежутке не следует, что она обязательно непрерывна. Наряду с непрерывной она может быть и дискретной.

Очевидно, что если заключается в том, что случайная величина приняла значение , то запись - вероятность этого события.

14) Определение.  Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

            Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

            Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

            Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

 

            Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник распределения.



           

            Вероятности пяти попаданий из пяти возможных, четырех из пяти и трех из пяти были найдены выше по формуле Бернулли и равны соответственно:



,     ,  

 

            Аналогично найдем:







15) Биноминальное распределение вероятностей.



Наивероятнейшее число успехов »

q, где k=0, 1,2, … n.

Ряд вероятностей , найденных при всех допустимых значениях k, вычисленных по формуле Бернулли, называется биномиальным распределением вероятностей. Биномиальным это распределение называется потому, что q есть формула любого члена для степени бинома (р + q).

В общем виде биномиальное распределение вероятностей для различных значений k записывается в виде следующей таблицы:


0

1

2



n











Р, q, n – известны

Очевидно, что +++…++…+=1



Определение. Число появления события А, которому соответствует наибольшая вероятность называется наивероятнейшим числом успехов.

Определение. Y=E(x) – endier (x)

Целой частью числа х называется наибольшее число, не превосходящее данное. Обозначается [x] – целая часть числа x.

Можно доказать, что наивероятнейшее число успехов можно определить по формуле =[(n + 1)p] (1).

Преобразуя выражение (1), можно получить



np-y np + p (2) – формула наивероятнейшего числа

14,1 15,6 =15

14 15 =14, ’=15

Следовательно, может принимать либо одно, либо два значения.

16) Теорема Пуассона »

Пусть А – редкое событие при массовых испытаниях, то есть n велико, а р мало: 0 < р <1. Для этого случая хорошее приближение формулы Бернулли даёт так называемая формула Пуассона. В условиях, описанных выше, предположим, что в каждой серии испытаний число повторений события А (число успехов) постоянно. Поэтому обозначим (1), где – число успехов при .



Тогда справедлива формула Пуассона:

(2)

Значение функции, стоящей в правой части формулы (2) под названием распределение Пуассона обычно приводится в таблице. Они находится по данному значению m и вычисленному значению .

Формула Пуассона даёт достаточную точность с n>50.


скачать

следующая >>
Смотрите также:
11 Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение. Теорема
377.96kb.
Задача для уравнения Лапласа, теорема единственности. Внутренние краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости
20.07kb.
Теорема Пифагора
109.53kb.
Конспект урока геометрии в 8 классе теорема пифагора учитель математики и физики Сычева Н. Е. Тема урока: «теорема пифагора»
104.71kb.
Вопросы вступительного экзамена по специальности 08. 00. 14 – Мировая экономика
41.62kb.
Теорема Геделя о неполноте В. А. Успенский 1 Theoretical Computer Science 130,1994, pp. 273-238
76.75kb.
Задача на признаки параллельности прямых. Билет №2 Определение смежных углов. Теорема о смежных углах
29.68kb.
Законы сохранения электрического заряда. Теорема Гаусса (вывод)
31.78kb.
Теорема Пифагора и числа Фибоначчи
151.93kb.
Две теоремы кодирования источника сообщений (канал без шума). Теорема 1
15.96kb.
Конспект урока по теме: «Теорема Пифагора»
256.28kb.
Урок алгебры в 8 классе по теме «Теорема Виета»
34.87kb.