скачать Занятие №2

Решение квадратных уравнений с параметрами.

При решении квадратных уравнений (да и неравенств) с параметрами, встречающихся в задания по ГИА и ЕГЭ, требуются следующие знания :

• 
  Частные случаев решения квадратных уравнений,
  
• 
  Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения,
  
• 
  Теорема Виета,
  
• 
  Разложение квадратного трехчлена на множители,
  
• 
  Определение знаков корней квадратного уравнения.
  

Хорошие знания по данным тема, позволят вам справиться с любым заданием.

Кроме этого необходимо помнить, часто в такого рода заданиях коэффициенты при неизвестном являются не числами, как правило, а целыми выражениями. Например в уравнении

а (а – 1)x² + 3 (а + 2)x + 6 = 0 первый коэффициент а = а (а – 1), второй в =3 (а + 2), свободный член с =6. При нахождении дискриминанта, корней уравнения вместо а,в, с подставляются целые выражения. Решив полученное уравнение или неравенство необходимо записать ответ.

 Приведенный ниже обобщенный справочный материал позволит вам решать уравнения с параметрами.

 Дискриминант:

     Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня: которые могут быть вычислены по формулам:

или

     Если D = 0, то кв. ур-е имеет единственный корень .

Если D < 0, то действительных корней нет.


     Частные случаи

     1. (приведенное квадратное уравнение),

     при D > 0

     при D = 0

     2.

     при D > 0

     при D = 0

     3.

     4.

     5.

 

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения (формулы Виета)

     Если - корни квадратного уравнения то

     Для уравнения

     Разложение квадратного трехчлена на множители

     Если D > 0, то

     Если D = 0, то

 

Определение знаков корней квадратного уравнения

x² + (b/a)x + c/a = 0.
Введем замену: b/a = p, c/a = q.
Получим уравнение: x² + px + q = 0.

 

q	p	Знаки корней
q > 0	p > 0	оба корня отрицательны
	p < 0	оба корня положительны
	p = 0	корней нет
q < 0	p > 0	корни разных знаков; больший по модулю корень отрицателен
	p < 0	корни разных знаков; больший по модулю корень положителен
	p = 0	x1 = − x2
q = 0	p ≠ 0	x1 = 0; x2 = − p
	p = 0	x1 = x2 = 0

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение аx (аx + 3) + 6 = x (аx – 6) является

а) квадратным

б) неполным квадратным
в) линейным

Преобразуем: а²x² + 3 аx + 6 = аx² – 6x

а²x² – аx² + 3 аx + 6x + 6 = 0
а (а – 1)x² + 3 (а + 2)x + 6 = 0

а) уравнение квадратное, если старший коэффициент =/= 0

а (а – 1) =/= 0
а = 0, а =/= 1

т.е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1

б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0.

3 (а + 2) = 0 а = – 2

в) линейное, если коэффициент при x² равен 0 а (а – 2) = 0 а = 0; 2

Ответ:

при а =/= 0; 2 уравнение квадратное

при а = – 2 неполное квадратное
при а = 0,2 линейное.

 

Пример 2. Решить уравнение x² – bx + 4 = 0

D = b² – 16.

а) если |b|> 4, т.е. b < – 4 и b > 4 (b ? ( – ; 4)U(4; + ), то D >0 и уравнение имеет 2 корня

б) если |b|= 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = b/2

в) если |b|< 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Ответ: если b < – 4 и b > 4, то 2 корня

если b = ± 4, то 1 корень x = b/2.

если – 4 < b < 4, то корней нет.
 
скачать