скачать Предел и непрерывность функции. Производная и дифференциал.
Исследование функции.

(12 января 2010 года)

1. Предел последовательности

Определение. Числовая функция – это функция, область определения которой есть множество всех натуральных чисел; множество значений этой функции, т.е. совокупность чисел называют множеством значений этой последовательности.

Последовательность может быть задана с помощью формулы вида

выражающей через номер например

Определение. Число называется пределом последовательности если для каждого существует такой номер что для всех выполняется неравенство

Это можно записать символически следующим образом:

(1)

Рис. 1
Если предел последовательности, то пишут или при

Если последовательность имеет пределом число то говорят, что она сходится к числу Последовательность имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся. Иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Так как

то утверждение о том, что число является пределом последовательности означает, что найдется такой номер что все члены последовательности принадлежат интервалу (другими словами, вне этого интервала находится лишь конечное число членов последовательности – не более Множество называется ε-окрестностью точки (или просто окрестностью точки

Необходимое условие сходимости бесконечной числовой последовательности: для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Это условие не является достаточным, например, последовательность ограниченная, но не сходящаяся.

1. Непосредственное вычисление предела последовательности
   или доказательство несуществования предела

Пример. Вычислить предел последовательности .

Решение. формула общего члена этой последовательности.

Докажем, что , т. е. что Из последнего неравенства получаем Число в общем случае не натуральное, поэтому возьмем в качестве натуральное число, превышающее его. Например, Здесь обозначает целую часть числа Упростив формулу для , получим

Пример. Доказать, что последовательность не имеет предела.

Доказательство. Предположим, что предел этой последовательности существует. Пусть Возьмем По определению предела можно найти натуральное число такое, что при Если взять четное то будем иметь а при нечетном имеем Тогда Получается, что – противоречие.

1. Бесконечно малые последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если

Свойства бесконечно малых последовательностей.

1. Сумма (или разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Примечание. Утверждения 1 и 2 распространяются также на три, четыре, ... – любое конечное (фиксированное) число слагаемых или сомножителей. Однако, сумма не является бесконечно малой последовательностью, хотя – бесконечно малая.

1. Связь между бесконечно малыми
   и сходящимися последовательностями

Теорема. Для того чтобы число являлось пределом последовательности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство где – бесконечно малая последовательность.

Пример. Доказать, что

Доказательство. Для любого выполняется неравенство . Рассмотрим последовательность , где Тогда и

Следовательно, при Отсюда (т. е. – бесконечно малая) и

Свойства сходящихся последовательностей.

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел (рис. 2).

Рис. 2
2. Сходящаяся последовательность ограничена (рис. 1).

3. Пусть тогда существует предел последовательности где – фиксированное натуральное число, и он равен

4. Предел последовательности, все члены которой равны одной и той же величине (), равен этой величине.

5. Пусть . Тогда:

а)

б) в частности, , где – константа;

в) если и при всех

Пример. Вычислить .

Решение.

Пример.

2. Предельный переход в неравенствах

Теорема 1. Если последовательности и сходятся и при всех (или при всех для некоторого ), то

2. Если последовательность сходится и при всех (где и – константы), то

Примечание. Если при всех то можно утверждать лишь, что Утверждение о том, что может оказаться неверным. Так, например, при всех но

Достаточные признаки сходимости последовательности. 1. Если и неравенство выполнено при каждом начиная с некоторого, то существует предел последовательности и он также равен

2. Теорема (Вейерштрасса). Неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), имеет предел.

Пример. Вычислить предел последовательности .

Решение. Эта последовательность может быть задана рекуррентно: Докажем индукцией по что при всех натуральных Действительно, так как то неравенство выполняется при Пусть теперь тогда Теперь докажем индукцией по что при всех натуральных Действительно, так как то неравенство выполняется при Пусть теперь тогда Так как последовательность возрастает и ограничена сверху, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Обозначим этот предел буквой Так как то по теоремам о пределе суммы и пределе произведения получаем Корни этого уравнения Предел этой последовательности не может быть равен Следовательно,

2. Число

Можно доказать, что последовательность возрастающая и ограниченная сверху ( при всех Тогда по теореме Вейерштрасса имеет предел. Этот предел называется числом :

Число иррациональное, (бесконечная непериодическая десятичная дробь). Более того, число трансцендентное, т. е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.

1. 
   скачать