Пусть каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число . В этом случае говорят, что задана последовательность: . Число называется первым членом (элементом) последовательности, - вторым, - общим или n – м членом последовательности.

Написать первые пять членов последовательности

при ;

при ;

при ;

при ;

при ;

следовательно,

Пример 2.

Написать формулу общего члена последовательности

Заметим, что числитель дроби остается без изменения, меняется только знак дроби, следовательно, в числителе стоит . Знаменатель первого члена меньше на 1 второго и т.д., следовательно, в знаменателе . Таким образом, .

1. 
   Написать первые четыре члена последовательности:
   

2. 
   Написать формулу общего члена последовательности:
   

Запиши в тетрадь необходимую информацию по данной теме.

1.Что называется последовательностью?

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство

В противном случае последовательность называется неограниченной.
Пример 3.

Легко видеть, что последовательность неограниченна, так как члены последовательности постоянно увеличиваются и не найдется такого числа , чтобы выполнялось неравенство

Последовательность ограниченна, так как члены последовательности постоянно уменьшаются и можно найти такого числа , чтобы выполнялось неравенство , в данном случае это число 1.

Требуется найти наибольший ( наименьший) член ограниченной сверху ( снизу) последовательности:

2. Какая последовательность называется ограниченной (неограниченной)?

3. Какая последовательность называется возрастающей (убывающей) ?

Число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такой номер , зависящей от , что для всех выполняется неравенство .

В этом случае пишут или и говорят, что последовательность имеет предел, равный числу .

Пример 5.

Доказать, что предел последовательности равен нулю.

По определению, число 0 будет пределом последовательности , если для любого найдется натуральное число , такое, что для всех выполняется неравенство . Составим неравенство для нашего случая и найдем такие значения для которых оно выполняется:

Предел последовательности , где С- постоянная, равен нулю.

Используя определение доказать, что

Разделим числитель и знаменатель данной дробно-рациональной функции на n³ (на n в наивысшей степени). Тогда используя свойства пределов, получим

Решить данный предел можно другим способом, используя правило.

Предел вида , где равняется :

Следовательно, так как в примере 6. необходимо вычислить предел отношения многочленов при , то можно воспользоваться правилом. Так как в числителе и в знаменателе многочлены одной и той же степени, то есть имеет место третий случай, следовательно предел равен отношению коэффициентов при n в наибольшей степени, т.е. .

Используя правило вычислить пределы:

1. В данном случае в числителе и в знаменателе многочлены одной и той же степени, то есть имеет место третий случай , следовательно предел равен отношению коэффициентов при n в наибольшей степени , т.е. .

2. В данном случае в числителе степень многочлена (вторая) больше степени многочлена в знаменателе (первая), то есть имеет место второй случай , следовательно, предел равен бесконечности т.е. .

3. В данном случае в числителе степень многочлена (первая) меньше степени многочлена в знаменателе (третья), то есть имеет место первый случай , следовательно предел равен нулю т.е. .

Вычислить предел

Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):

Вычислить предел

Вычислить пределы последовательности

4. Что называется пределом последовательности ?

1.Что называется последовательностью?

2. Какая последовательность называется ограниченной (неограниченной)?

3. Какая последовательность называется возрастающей (убывающей) ?