Главная стр 1
скачать
Модуль к теме: «Предел функции»
Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь понятием предел функции, научитесь вычислять пределы функции.


Учебные элементы

Содержание

Учебные действия

УЭ1

Определение:

Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число ( зависящее от ), что для всех таких, что , выполняется неравенство .


Пример 1.

Используя определение доказать, что предел функции в точке 3 равняется 5.



Доказательство:

Зафиксируем произвольное . Требуется по этому найти такое число , чтобы из условия , вытекало неравенство , т.е из условия вытекало бы неравенство . Последнее неравенство приводится к виду . Отсюда следует, что если взять , то неравенство будет автоматически влечь за собой неравенство (это значит, что для всех x, для которых верно первое неравенство, будет верно и второе). Следовательно, что и требовалось доказать.


Задания:

Используя определение доказать, что предел функции





Запиши в тетрадь необходимую информацию по данной теме.



Вопрос к допуску:

1.Что называется пределом функции?



Доказательство запиши в тетрадь!

Выполни задания самостоятельно, сдай на проверку

УЭ2

Нахождение пределов.

Пример 2.

Найти



Решение:

или




Пример 3.

Найти



Решение:

При числитель и знаменатель данной функции обращается в нуль. Получена неопределенность , которую нужно раскрыть. Разложим числитель и знаменатель на линейные множители



Числитель разложили по формуле сокращенного умножения , знаменатель – используя формулу разложения квадратного трехчлена на множители :



, где корни уравнения

Пример 4.

Найти



Решение:

При числитель и знаменатель данной функции обращается в нуль. Получена неопределенность , которую нужно раскрыть. Разложим числитель и знаменатель на линейные множители. Знаменатель разложим, используя формулу разложения квадратного трехчлена на множители, получим: . Так как при числитель обратиться в нуль, следовательно, является корнем данного многочлена и если мы разделим числитель на , то по теореме Безу данный многочлен разделится без остатка, таким образом мы сможем разложить на множители данное выражение.



Таким образом, получаем:







Пример 5. Найти

Решение:

При числитель и знаменатель данной функции обращается в нуль. Получена неопределенность , которую нужно раскрыть. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):




Задания:

Найти пределы:







Решения примеров запиши в тетрадь!

Выполни задания самостоятельно,

сдай на проверку


УЭ3

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:



Второй замечательный предел:

Часто используются следующие следствия из замечательных пределов:





Пример 6.

Найти



Решение:



Пример 7.

Найти



Решение:



Пример 8.

Найти



Решение:



Пример 9.

Найти



Решение:

В данном случае мы имеем неопределенность вида . Выделим целую часть и сведем ко второму замечательному пределу:





или разделим числитель и знаменатель на x





Задания:




Запомни!!!

Вопрос к допуску:

2. Сформулируйте первый, второй замечательный предел.

3. Следствия из замечательных пределов.

Решения примеров запиши в тетрадь!

Выполни задания самостоятельно, сдай на проверку


УЭ4

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение:

Функция называется бесконечно малой при (или в окрестности точки ), если


Теорема 1.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.



Теорема 2.

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.



Следствие 1.

Произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.



Следствие 2.

Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая.



Следствие 3.

Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.


Сравнение бесконечно малых функций

Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть бесконечно малые функции при



  1. Если , то и одного порядка

  2. Если , то бесконечно малая более высокого порядка чем

  3. Если , то бесконечно малая более низкого порядка чем

  4. Если не существует, то и несравнимые

Пример 10.

Сравнить порядок функций при



Решение:

Найдем предел отношений данных функций



следовательно, имеет место второй случай. бесконечно малая более высокого порядка чем .
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют эквивалентные бесконечно малые функции.

Определение:

Если , то и называются эквивалентными функциями. Обозначается . Например, при , так как



Эквивалентные функции при

Теорема 3.

Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую функцию или одну заменить эквивалентной ей бесконечно малой.



Теорема 4.

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.


На основе данных теорем можно сделать вывод, что для раскрытия неопределенности можно использовать бесконечно малые функции.

Пример 11.

Найти



Решение:



Пример 12.

Найти



Задания:

Используя эквивалентные функции, вычислить пределы






Сформулируй

определение бесконечно большой функции.
Вопрос к допуску:

4. Какая функция называется бесконечно большой?

5. Какая функция называется бесконечно малой?

Решения примеров запиши в тетрадь!

Решения примеров запиши в тетрадь!

Выполни задания самостоятельно, сдай на проверку


УЭ5


Контрольная работа


Получи вариант контрольной работы




Вопросы к допуску:

Что называется пределом функции?

Сформулируйте первый, второй замечательный предел.

Следствия из замечательных пределов.

Какая функция называется бесконечно большой?

Какая функция называется бесконечно малой?

Теоремы о бесконечно малых функций и следствия из них.

Сравнение бесконечно малых функций.



Какие функции называются эквивалентными?

Знай ответы на все вопросы!!!






скачать


Смотрите также:
Модуль к теме: «Предел функции» Цель
82.54kb.
Модуль к теме: «Предел последовательности» Цель
70.47kb.
Модуль к теме: «Функция. Преобразование графиков функций» Цель
85.59kb.
Вопросы к гак по математическому анализу
19.9kb.
Неполные: 2,3,13 без решения: 7,11,14,15
59.17kb.
Экзаменационные вопросы по дисциплине Понятие множества. Операции над множествами и их свойства
47.2kb.
Лекция Дифференцирование функций Определение производной
72.79kb.
Модуль к теме: «Схема испытаний Бернулли» Цель
55.33kb.
Модуль к теме: «Системы линейных уравнений» Цель
47.54kb.
Предел числовой последовательности
207.93kb.
Урок алгебры в 7-м «Б» классе по теме: "Что такое функция?"
65.37kb.
Модуль к теме: «Исследование системы линейных уравнений» Цель
33.02kb.