Главная стр 1
скачать

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА Основные понятии и определения

Большинство научных исследований связано с экспериментом.

Под экспериментом понимается совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

Опыт -- это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Таким образом цель планирования эксперимента - это нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Для определения понятия объекта исследовании удобно использовать понятие так называемого «черного ящика» (рис. 1)






Рис.1. Схема «черного ящика»

Стрелки справа изображают интересующие нас свойства объекта (У) называемые откликами. Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого воздействия обозначаются (X) и называются факторами.

Пусть интересующее исследователя свойство (У) объекта зависит от нескольких (п) независимых факторов (Х/} Х2, ..., Х„) и необходимо выяснить характер этой зависимости - У = F(Xi, Х2, ..., Хп), о которой имеется лишь общее представление. Зависимость У = F(X\,X.2, ■■•> Хп) называется функцией отклика.

Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки У. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода - оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента. Каждый фактор также должен иметь количественную оценку и принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения называются уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебрать все возможные состояния, то получится полное множество различных состояний данного «черного ящика». Одновременно это будет число возможных различных опытов (N).

Если число уровней (р) каждого из k количества факторов одинаково, то

N = p/C (1)

Например, объект с десятью факторами на четырех уровнях имеет свыше миллиона возможных состояний. Очевидно, что в такой ситуации практически невозможно провести эксперимент по оценке всех возможных состояний объекта исследований. В этом случае и необходимо планирование эксперимента.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. В этом случае используется метод планирования регрессионного эксперимента.

Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых факторов, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение. В этом случае используется метод планирования экстремального эксперимента, в котором главная задача - экспериментальная оптимизация объекта исследования. Кроме того используются:


  • планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

  • планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

  • планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Каждый фактор считается заданным если указана область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный либо технический характер. При планировании активного эксперимента факторы должны быть:

  • управляемыми - экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, должен иметь возможность поддерживать это значение в течении всего опыта;

  • совместимы - все комбинации факторов должны быть осуществимы и безопасны;

  • независимы - фактор может быть установлен на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов;

  • некоррелированными - требование некоррелированности не означает, что между значениями факторов нет никакой связи, достаточно, чтобы связь не была линейной. Геометрической интерпретацией функции отклика является поверхность отклика

(для двух факторов рис. 2.).


Если произвести сечение поверхности отклика плоскостями параллельными плоскости Х1ОХ2, и полученные в сечениях линии спроектировать на эту плоскость, получится набор линий равного отклика (рис. 3).

Пространство, в котором строится поверхность отклика, называется факторным пространством.

Каждому возможному состоянию объекта исследований соответствует одно значение отклика. Обратное неверно: одному возможному значению отклика может соответствовать сколь угодно состояний объекта исследований.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКТРЕМАЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

В планирование экстремального эксперимента отклик принято называть параметром оптимизации. Далее факторы с натуральными значениями обозначаются как X ■

Предполагается, что поверхность отклика гладкая, непрерывная и имеет один экстремум. Это позволяет аппроксимировать поверхность отклика в окрестности любой точки степенным рядом, точнее отрезком степенного ряда - алгебраическим полиномом. Поиск экстремальной точки поверхности отклика в традиционном эксперименте проводится следующим образом (рис. 4).






Рис. 4. Поиск экстремальной точки поверхности отклика в традиционном эксперименте

В точке L с известным значением У фиксируется один из факторов, например Х|, и начинается движение от этой точки вдоль оси Х2. Движение по оси Х2 продолжается до тех пор, пока не прекращается прирост (снижение) У. В точке М с наилучшим значением параметра оптимизации фиксируется фактор Х2 и начинается движение вдоль оси Х|. В точке N со следующим наилучшим значением У снова фиксируется Х| и начинается движение вдоль оси Х2 и т. д.

Очевидно, что путь к экстремуму по ломанной кривой LMNR не является оптимальным.

Кратчайшим путем достижения экстремума является движение по градиенту. Этот метод (метод крутого восхождения) разработан Боксом и Уиллсоном.

Метод Бокса-Уиллсона (крутого восхождения)

Планирование экстремального эксперимента - это метод выбора количества и условий проведения опытов, минимально необходимых для отыскания оптимальных условий функционирования объекта исследований. Этим оптимальным условиям на поверхности отклика соответствует область экстремума.

Первоначально в совместной области определения находится локальная подобласть для планирования эксперимента по определению направления движение по градиенту. Процедура выбора этой подобласти включает два этапа: выбор основного уровня и выбор интервалов варьирования. Основной (нулевой) уровень, то есть комбинация уровней факторов (Х1020,...,Х 0), соответствующая наилучшему значению параметра оптимизации, определяется

из анализа априорной информации. Далее для каждого фактора выбираются два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте.

Факторы могут иметь разные размерности и резко отличаться количественно. В планировании эксперимента используют кодирование факторов.


Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов, причем такого, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной 0, а также в переносе начала координат в точку с координатами (Х1020,...,Х/0) (рис. 5.).


Для факторов с непрерывной областью определения

(2)


где - кодированное значение j-того фактора; X - натуральное значение j-того фактора;

X/п - натуральное значение основного уровня j-того фактора; j - интервал варьирования j-того



j

фактора.


Таким образом, интервал варьирования это некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычисление - нижний. Очевидно, что интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой фиксируется уровень фактора, и быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Можно принять, что если интервал варьирования составляет не более 10% от области определения, то интервал считается узким.

После выбора локальной подобласти строится матрица планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ), то есть эксперимента, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Когда число уровней каждого фактора равно двум, все возможные сочетания уровней факторов (число опытов) равны 2к.



Геометрическая интерпретация ПФЭ 22 и 23 приведена на рисунке 6.


Условия проведения опытов соответствуют вершинам квадрата и куба, а номера вершин соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Ниже приведены матрица планирования ПФЕ 22 . Матрица планирования полного факторного эксперимента 22

Номер опыта

х,

х2

У

1

-1

-1

У1

2

+ 1

-1

у2

3

-1

+1

Уз

4

+ 1

+1

У4

Рассмотрим подробнее метод Бокса-Уиллсона на примере двухфакторного эксперимента. В этом случае поверхность отклика - 2-х мерная поверхность в трехмерном пространстве (рис. 7).

Необходимо отметить, что рассматриваемый метод может применяться только в том случае, если поверхность отклика непрерывная, гладкая и имеет единственный экстремум. Тогда исследуемую функцию можно представить в виде степенного ряда в окрестности любой точки


На рис. Xt min, Xt max и ^2min'^2max ~ граничные значения областей определения

соответственно 1-го и 2-го факторов.

Первоначально в совместной области определения двух факторов (на рис. -прямоугольник abed ) выбирается локальная подобласть для планирования эксперимента, направленного на поиск оптимального пути по поверхности отклика в направлении области экстремума. Процедура выбора этой подобласти включает два этапа: выбор основного (нулевого) уровня (на рис. точка с

координатами Х10, Х20) и выбор интервалов варьирования (на рис. I] и 12 ).

Выбор нулевого уровня производится на основе анализа априорной информации (в контрольной работе он задается в исходных данных).

Для формализации и упрощения процедуры планирования эксперимента и обработки результатов для каждого из факторов определяются два уровня: верхний и нижний (на рис.

Ххн , Х для 1-го фактора и Х для 2-го фактора)

При этом натуральные значения уровней факторов заменяются на безразмерные кодированные в общем случае по формуле


Таким образом нижним натуральным значениям уровней факторов соответствует кодированное значение «-1», а верхним - «+1».

Размер интервала варьирования зависит от области определения фактора, а также от характера поверхности отклика (в контрольной работе интервалы варьирования принимаются одинаковыми для обоих факторов и задаются в исходных данных).

После выбора локальной подобласти строится матрица планирования эксперимента типа 2К ( в нашем случае 22).

В соответствии с матрицей планирования проводится эксперимент (в нашем случае состоящий из 4-х опытов).

Поверхность отклика в локальной подобласти аппроксимируется линейной моделью в общем случае вида

а в нашем случае

Коэффициенты линейной модели в общем случае рассчитываются по формулам:



Если значения коэффициентов значительно отличаются от нуля, то осуществляется движение по градиенту к области экстремума функции.

Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. При этом градиент линейной функции

есть постоянный вектор



где /,,/2,- единичные векторы в направлении координатных осей.

Следовательно оценкой составляющих градиента являются коэффициенты линейной модели.

Таким образом, если найдены коэффициенты линейной модели, то направление градиента задается однозначно и является единственным.

Движение по градиенту осуществляется обязательно из центра эксперимента (из точки нулевого уровня).

Движение в направлении градиента осуществляется последовательными шагами, которые пропорциональны интервалу варьирования факторов, т.е. шаг движения дляу'-го фактора равен



Шаг может быть изменен, если его абсолютное значение для каждого /-го фактора умножить на любое положительное число. Увеличен, если это число больше единицы и уменьшен, если меньше единицы.

Движение по градиенту продолжается до тех пор, пока не перестает давать эффект, т.е. не наблюдается уменьшение параметра оптимизации при отыскании области максимума и рост параметра оптимизации при отыскании области минимума. Это значит, что движение по градиенту привело в область экстремума.

Последовательно необходимо заполнять таблицу по планированию эксперимента. Типовая форма такой таблицы (табл. 1).

Далее полученные оптимальные значения факторов принимаются за основные уровни и действия выполняются в той же последовательности, до тех пор, пока определяемые коэффициенты линейной модели не станут близки к нулю.

Это значит, что движение по градиенту происходит в настолько малой области поверхности отклика, что ее можно принять за область экстремума и дальнейший эксперимент следует проводить только в этой локальной подобласти.



Таблица 1

Типовая форма таблицы по планированию и реализации метода крутого восхождения



УРОВЕНЬ

ФАКТОРЫ (НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ)
















Основной




^20




Интервал варьирования

I.

I2




Верхний




X20 +12




Нижний

~ А

^20 ~ 12




ОПЫТЫ

КОДИРОВАННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФАКТОРОВ







X,

X2

У

1

-1

-1

У.

2

+1

-1

у2

3

-1

+1

Уз

4

+1

+1

у4

ь,

\

b2

-

Л, = bjlj

A,=Vi

h~> b-y I




5

Л^ + А,

X20 + h2

У 5

6

X]Q + 2/7,

X-,0 + 2h-,

Уб

7

Хю + ЗА,

X20 + 3/7 2

У7










....

N

Xl0 + Nh{

X 20 + Nh2

yN



скачать


Смотрите также:
Планирование эксперимента основные понятии и определения
176.11kb.
К вопросу о понятии и пределах эксперимента в области государства и права
145.83kb.
Н. В. Перцев планирование и математическая обработка результатов химического эксперимента учебное пособие
3128.99kb.
Тематическое планирование № Тема Количество часов Дата по плану Дата по факту 1 2 3-4 5-6
202.37kb.
Лекция №2 Экспериментальный метод построения математических моделей объектов и систем управления: основные понятия и определения
97.48kb.
Информационная карта педагогического эксперимента
52.83kb.
Экзаменационные вопросы По дисциплине физика
36.78kb.
Оптимизация буровых и горно-разведочных работ, планирование эксперимента
22.94kb.
В. Б. Вехов к вопросу о понятии криминалистического компьютероведения
142.87kb.
Генрих риккерт о понятии философии
520.02kb.
Программа эксперимента
74.97kb.
Лекция Основные понятия и определения
156.93kb.