скачать Типовой расчет: Пределы и непрерывность. (Халтурина Т.А.)

1. 
   Предел числовой последовательности.
   

Вариант 1.

1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел (с помощью критерия сходимости монотонной ЧП);

б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .

Вариант 2.

1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел);

б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Вариант 3.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а)последовательность имеет предел,б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 4.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать,что а) последовательность имеет предел , б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 5.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать,что а) последовательность имеет предел б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 6.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а)последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 7.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 8.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 9.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 10.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 11.

1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 12.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 13.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 14.

1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а)последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 15.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 16.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ;2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 17.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 18.

1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 19.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел,б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

Вариант 20.
1. Выписать шесть первых членов последовательности .

Доказать, что а) последовательность имеет предел, б) . Указать .

2. Вычислить предел последовательности , если

1) ; 2) ; 3)

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) .

1. 
   Предел функции.
   

Задача 1

Доказать, что . Указать

№

варианта A №

варианта A 1273-5-316492-7-2235-2-7-2172-735334-9272185-4-16145-4-161194-9915353-5-27220376-11-3645-6-11-27572-3-182-9474941173-1103-10-8144115-3-27112294-7-4133-7252142-5-121141559-2-11-2Задача 2

Доказать, что . Указать

№

варианта А№

варианта А12-1312/3162-75-12/523-45-23/5173-27-23/734-3232184543145-2445/41952345/3561756/7206-52-536235-12/5735321847734/795-62-45/2106-14-53/2112-9611/3123-5223/21341734/714534-45/41565352Задача 3

Доказать, что функция бесконечно велика при . Каким должен быть , чтобы величина была больше 10³?

№

варианта №

варианта 13-12112-3122-3-1124-52352-31331-146-211443-2551-21535-3632-3164-32745-11752-18572182-5296-131952-1105-1-4204-51Задача 4

Вычислить предел функции при

№

вари-анта 12-7233-8-3∞1-1/30323-8322-3-2∞1-1/202341-4-1341∞1-1/30-1456-9-2492∞1-1/40-2561-6-1891∞1-1/80-1621-2-1451∞1-1/40-1737-7-34133∞1-1/40-3845-7-25112∞1-1/50-295-191136-17-3∞1-1/6031061320-37223∞1-1/70-31127-5-45214∞1-1/50-4123-14745-19-4∞1-1/504134-15836-17-3∞1-1/6031451-5-1781∞1-1/70-1156-231435-14-3∞1-1/503162-9346-23-4∞1-1/6041731-3-1671∞1-1/60-1184-11527-13-2∞1-1/702195-241549-35-4∞1-1/90420619-21-44174∞1-1/40-4Задача 5.

Вычислить

№

варианта 12-341-1-312-102-42301-12-52-1310-5321-125-931-2-11-241-204-632-251-3-352-313-7413-25-7063122-3-53-14-62-2720-312-214-5-73483-2021-425-31-61913-24-5-12-61-232103-113-6017-5-42-11120-51-3531-42-311213-621-12-35-21-3132-304-523-27-42-61412-752-32-53-211153-143-6-31-74-112163-512-1023-6-212171-6015-13-21-3101823-1-64-23-521-10192057-6-816-5-21-1203-123-5-22-743-20Задача 6(1,2,3,4).

Вычислить

№вари-анта Задача 6(1)Задача 6(2)

g(x) g(x)

1 3 2

2 1 1

3 -2 3

4 -1 3

5 2 -2

6 -3 1

7 -2 -1

8 1 2

9 3 -3

10 2 1

11 -1 -2

12 -3 3

13 -2 2

14 4 -1

15 1 -1

16 2 -2

17 3 4

18 -2 1

19 -1 2

20 -4 3

№

вари-анта Задача 6(3)Задача 6(4) g(x) g(x) 1 -2 2 4 3 -1 4 3 5 -4 6 -3 7 1 8 -3 9 4 10 -2 11 2 12 -2 13 -1 14 -2 15 2 16 2 17 1 18 3 19 -1 20 3 Задача 7(1,2).

Вычислить

№

вари-анта Задача 7(1)Задача 7(2) g(x) g(x) 1 12 23 34 -35 36 -27 28 59 -510 -111 -212 413 514 315 216 -417 418 -519 -220 4

Задача 8(1, 2, 3,4)

Вычислить предел функции при , если ,

№вари-анта Задача 8(1)

12482121-2231

23-5736-4233-5-2

343-34-863-11-32

45845-3-84-241-1

56-5-965324222

67-357-24314-61

725626-71-3352

837-43-9-14-11-2-1

94-8-24-5332431

105985711-42-72

116-4363-72133-2

127687-844-1111

132-9-52492-3242

143193-6-74-23-8-1

1543-34-1-53146-2

165645-7813132

1768-862-33-13-51

187-7-67322-311-2

1924728-14-123-1

203833-95144-21

№вари-анта Задача 8(2)

124-12121-223

23-5736-4233-5

343-34-863-11-3

45845-3-84-341

56-5-96532532

67-357-24314-6

725626-71-335

837-43-9-14-11-2

94-8-24-533243

105985711-42-7

116-4363-72133

127687-844-111

132-9-52492-324

143193-6-74-23-8

1543-34-1-53146

165645-781313

1768-862-33-13-5

187-7-67322-311

1924728-14-123

203833-95144-2

№вари-анта Задача 8(3)

124-12121-203

23-5736-42305

343-34-863-103

45845-3-84-301

56-5-96532502

67-357-243106

725626-71-305

837-43-9-14-102

94-8-24-533203

105985711-407

116-4363-72103

127687-844-101

132-9-52492-304

143193-6-74-208

1543-34-1-53106

165645-781303

1768-862-33-105

187-7-67322-301

1924728-14-103

203833-951402

№вари-анта Задача 8(4)

124-14121-223

23-5726-42335

343-35-863-113

45844-3-84-341

56-5-93532522

67-352-243146

725646-71-335

837-48-9-14-112

94-8-22-533243

105983711-427

116-4353-72133

127684-844-111

132-9-56492-324

143198-6-74-238

1543-37-1-53146

165644-781313

1768-892-33-135

187-7-65322-311

1924748-14-123

203837-951442

1. 
   Сравнение бесконечно малых величин. Вычисление предела функции с использованием свойств бесконечно малых величин.
   

Задача 1(1, 2, 3)

Функции являются бесконечно малыми величинами при .

1. 
   Определить порядок относительно (в задачах 1(1,2)) и относительно (в задаче 1(3)).
   
2. 
   Сравнить и и при .
   

№

вариантаЗадача 1(1) 1 02 03 04 05 06 07 08 09 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 0

№

вариантаЗадача 1(2) 1 12 33

24 15 -36 -27 -18 39 210 111

-312 -213 -114 315 216 117 318 -119

320 -3

№

вариантаЗадача 1(3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Задачи 2(1), 2(2).

Используя свойства эквивалентных бесконечно малых величин, вычислить предел функции

2(1) при ;

2(2) при

№

вариантаЗадача 2(1)Задача 2(2) 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 Задача 3(1, 2)

Используя свойства эквивалентных бесконечно малых величин, вычислить предел функции при

№

вариантаЗадача 3(1)Задача 3(2) 1 0 12 0 23 0 14 0 45 0 16 0 17 0 28 0 19 0 -110 0 311 0 212 0 313 0 314 0 215 0 116 0 417 0 218 0 519 0 120 0 -1Задача 4

Используя свойства бесконечно малых величин, вычислить предел функции при

№

варианта №

варианта 1

116

12

17

-13

118

24

219 5

220

06 07 8

19

210

311

212

113 14

-115

1

1. 
   Непрерывность функции. Точки разрыва.
   

Расчетные задания.
Задача 1.

Доказать, что функция непрерывна в точке

а) используя определение непрерывности по Коши (« »);

в) используя определение непрерывности в терминах приращений.

№

варианта №

варианта 1 -111 -32 112 -13 -213 34 -114 -25 215 46 -316 27 -217 18 -118 -19 119 310 220 2

Задача 2.

При каких значениях и функция будет непрерывной? Построить график функции.

№

варианта

№

варианта

1 16 2 17 3 18 4 19 5 20 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


Задача 3.

Определить характер точек разрыва функции и построить ее график.

№

варианта

№

варианта

1 16

2 17 3 18 4 19 5 20 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Задача 4(1, 2, 3).

Найти точки разрыва функции . Исследовать поведение функции в окрестности точек разрыва и при . Построить график функции (схематично).

№

вариантаЗадача 4(1)Задача 4(2)Задача 4(3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
скачать