Главная стр 1
скачать
Открытый урок на конкурс
«Учитель города – 2005»

«Решение

тригонометрических уравнений»

Учитель сш №19

Чиротич О.А.


2005

Тема урока:

«Решение тригонометрических уравнений»

Тип урока: урок-консультация.

Цели и задачи урока:

1) образовательные – отработать умения систематизировать, обобщать знания, полученные в процессе изучения темы, применять их к решению задач; решать тригонометрические уравнения, используя различные приемы и способы; отработать умение применять справочные материалы;

2) развивающие – развивать логическое мышление, грамотную математическую речь, умение делать выводы и обобщения;

3) воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности, умение видеть и достигать цель.



Оборудование урока: магнитная доска, карточки; компьютер для демонстрации презентаций; тетради; таблицы по тригонометрии:

а) таблица значений тригонометрических функций некоторых углов;

б) формулы решения простейших тригонометрических уравнений (в том числе частные простейшие тригонометрические уравнения);

в) основные формулы тригонометрии.



Литература:

  1. Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11.

  2. В.С.Крамор. Повторяем курс алгебры.

  3. Учебно-методическая газета математика, 2005 г., № 6, 7,8.

  4. Учебно-тренировочные задания, 2004 г.

  5. Экзаменационные материалы 2002, 2003 гг.



Содержание урока.




Деятельность учителя



Деятельность ученика

  1. Организационный этап.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.


Готовятся к уроку.



  1. Исторические сведения.

Задача: поддержать интерес к изучаемому предмету.

Слово тригонометрия происходит от двух греческих слов: тригонон – треугольник и метрейн – измерять и в буквальном переводе означает измерение треугольников.

Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне (в середине II тысячелетия до нашей эры). Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее применяли и сохранили математики Древней Греции и Рима (Гиппарх, Птолемей, Пифагор).

Принятая сегодня система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI–XVII веков; ею уже пользовались известные астрономы Николай Коперник и Тихо Браге.



Синус – латинское слово и означает изгиб, кривизна; косинус – «дополнительный синус» или синус дополнительной дуги . Термины «тангенс» (в буквальном переводе – «касающийся») и «котангенс» произошли от латинского языка и появились в Европе значительно позднее. Среднеазиатские ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс – «первой тенью», тангенс – «второй тенью».

Современный вид тригонометрия получила благодаря крупнейшему математику XVIII столетия Леонарду Эйлеру (1707 – 1783), швейцарцу по происхождению. Долгие годы он работал в России и являлся членом Петербургской Академии наук. Именно Эйлер впервые ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.

В настоящее время тригонометрия является одним их основных разделов современной математической науки.





  1. Актуализация опорных знаний и умений.

Задачи: повторить основные понятия, связанные с решением тригонометрических уравнений; совершенствовать знания, умения и навыки учащихся в области решения тригонометрических уравнений.


  1. А теперь мы проведем небольшую устную разминку. Послушайте предысторию: «Ученик решил отправить на автобусе за город в лес. Прибыв на место он пустился на поиски грибов. Вечерело. Стало темнеть, и он стал плутать». У вас на столе лежит карта местности, по которой бродил ученик. Ваша задача состоит в том, чтобы решая пример за примером и двигаясь в том направлении, угол который вы найдете, выяснить, куда же вышел горе-путешественник.




  1. Обратим свое внимание на опорный конспект. С помощью этого конспекта определите, какие из предложенных вам уравнений не имеют корней и почему?

1) sin x = 0; 2) cos x = ; 3) tg x = 2; 4) sin x = 1,5; 5) cos x = -2.

3. Давайте обратим внимание на решения уравнений, которые вам предложены. Правильно ли решено это уравнение?


Пример 1. .

Разделим обе части уравнения на 4.



,

.

Пример 2. .

Разделим обе части уравнения на.



,

,

уравнение не имеет корней, так как .


Учитель предлагает найти ошибку при решении этих уравнений и исправить ее, выясняет в каком случае можно производить деление на без потери корней.

Учащиеся работают в парах.


Учащиеся поднимают руки и дают ответы с комментариями.


Ошибка заключена в делении на 4.

Ошибка заключена в делении на выражение, содержащее переменную.


  1. Постановка учебной задачи.

Задача: повторить методы решения тригонометрических уравнений.

Обращает внимание учащихся на магнитную доску, где расположены карточки с записью тригонометрических уравнений, и предлагает учащимся назвать способы решения уравнений.

По способу решения тригонометрические уравнения можно классифицировать следующим образом:

- уравнения, сводящиеся к квадратным;

- уравнения, решаемые путем разложения на множители;

- однородные тригонометрические уравнения;

- уравнения, решаемые с помощью тождественных преобразований.


Учащиеся перечисляют способы решения тригонометрических уравнений.



  1. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой.

Задача: проверить умение учащихся решать тригонометрические уравнения, выбирая оптимальный способ решения.
Решите уравнение:

I ряд. (МГУ, геологический ф-т, 2004 г.)

II ряд. (ЕГЭ, 2002 г.)

III ряд. (учебно-тренировочные материалы к ЕГЭ, 2004 г.)

IV ряд. (ЕГЭ, 2003 г.)
Решение уравнений проверяются с помощью компьютера.

Учащиеся решают самостоятельно, затем выполняется проверка с помощью компьютера.



  1. Изложение нового материала.

Задачи: показать учащимся нетрадиционный способ решения тригонометрических уравнений.
Пример 1.

Предлагаю решить вам следующее уравнение .

Использование тригонометрических формул не упростит уравнение.

Решение некоторых тригонометрических уравнений может быть основано на неравенствах , .

Так как наибольшее значение, которое могут принять функции и равно 1, то уравнение равносильно системе уравнений

Решим каждое уравнение.



, ,

. .

Все корни первого уравнения являются корнями второго ().



,

,

,

.

Следовательно, решением исходного уравнения является множество .

Ответ: .

Таким образом, тригонометрические уравнения можно решать с помощью оценки их левой и правой частей.


Пример 2.

Решим уравнение .

Решение. О.Д.З.: ,

.

Упростим исходное уравнение, применив тригонометрические формулы.



,

,

,

,

.

Это уравнение может иметь решение только в том случае, когда



.

  1. Если , то , тогда .

  2. Если , то , тогда , а .

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

и .

Следовательно, корнями исходного уравнения являются числа .

Ответ: .
Пример 3.

Решите уравнение .

Решение. Заметим, что .

Поэтому, если , то .

Тогда исходное уравнение примет вид:

,

,

,

, .


  1. Если , то .

,

,

,

.

  1. Если , то .

.

Аналогично: ,



,

.

Ответ: ; .

Таким образом, при решении тригонометрических уравнений иногда используют такую замену переменной, как или .

Изложение учителя.

Учащиеся отвечают на текущие вопросы.


  1. Закрепления нового материала.

Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Предлагает учащимся назвать вид уравнения и способ решения уравнений:

а) ; – однородное уравнение ().

б) ; – ур-е, решаемое путем разложения на множ.

в) ; – ур-е, сводящееся к квадратным (замена пер.).

г) ; – ур-е, решаемое с пом. триг. преобразований

д) . – однородное уравнение ().



Учащиеся называют вид уравнения и способ решения.



VII. Постановка домашнего задания.

Задача: закрепить умение решать тригонометрические уравнения, выбирая подходящий способ решения.

Решите уравнения:

1. .

2. .



3. Подберите уравнение, которое имеет нестандартный способ решения и решите его.








Чиротич О.А. сш №19

скачать


Смотрите также:
«Решение тригонометрических уравнений» Учитель сш №19 Чиротич О. А. 2005 Тема урока : «Решение тригонометрических уравнений» Тип урока : урок-консультация. Цели и задачи урока
74.36kb.
«Решение иррациональных уравнений» Учитель: Бондаренко А. С. 2012-2013 учебный год Тема урока: «Решение иррациональных уравнений»
40.66kb.
Решение тригонометрических уравнений и неравенств
90.91kb.
«Решение систем линейных уравнений. Способ сложения» (7 класс) Тема урока: Решение систем линейных уравнений. Способ сложения Тип урока: закрепление знаний и способов действий
45.79kb.
Тригонометрические уравнения
119.31kb.
Решение тригонометрических уравнений
35.53kb.
Разработка урока по теме «Решение уравнений различными методами» Обобщающий урок. «Решение уравнений различными методами»
56.1kb.
Конспект урока Класс: 11 физико-математический профиль. Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений Тип : Урок обобщения и систематизации знаний
159.55kb.
Урока по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»
65.38kb.
Конспект урока-путешествия по математике в 6-м классе по теме «Решение уравнений»
78.92kb.
Урок по теме: Решение показательных уравнений.(11 класс) Учитель математики: Косоухова Л. Ю. Цель урока: Повторить, отработать и обобщить способы решения показательных уравнений
43.42kb.
Урок 68. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Деденева Т. Н. Моу «сош №1 п. Переволоцкий» Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений различными способами»
59.13kb.