скачать

Тема урока: «Решение уравнений высших степеней».

Решение алгебраических уравнений является одним из самых важных разделов алгебры, поэтому учащихся 9-х классов целесообразно познакомить с наиболее часто встречающимися приемами решений.

В начале урока можно дать историческую справку:

1) Египетские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений.

2) III век - древнегреческий математик Диофант в основном своем труде «Арифметика» дал решение задач, приводящих к диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.

3) Рубеж VI–VII вв. - творчество Омара Хайама, среднеазиатского поэта и математика (изложил решения уравнений до третьей степени включительно).

4) Конец XV в.- Лука Пачоли, итальянский математик, изложил правила арифметических действий, решения некоторых алгебраических уравнений, их приложения к геометрии, теорию геометрических пропорций.

5) 1545 г. - Джероламо Кардано нашел формулу решения неполного кубического уравнения.

6) 1591 г. - французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений.

7) П. Руффини (1765–1822) - итальянский математик, дал доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени.

8) Нильс Хендрик Абель (1802–1829) - занимается теорией интерполирования функций, теорией функциональных уравнений и теорией чисел.

9) Труды французского математика Эвариста Галуа (1811–1894) - по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры.

Ребята уже знакомы с уравнениями:

- линейные уравнения;

- линейные уравнения с модулем;

- квадратные уравнения;

- дробно-рациональные уравнения.

А вот уравнения высших степеней ново. Такими уравнениями занималось несколько математиков: итальянский математик Сципион Дальферро, итальянский учитель математики Николо и врач, философ, математик и механик Джероламо Кардано. Последний математик вывел формулу вычисления корней уравнения третей степени, данных в виде х³ + pх + q = 0.

Уравнения третьей и более степени называются уравнениями высших степеней.

1. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.







О.Д.З.

,

;

т.е.

Решая эти уравнения, находим,

2.

Разделив обе части уравнения на , получим

Затем, непосредственной проверкой убеждаемся, что не являются корнями данного уравнения.

Уравнения вида:

приводятся к квадратному, если

(или a+c=b+d или a+d=b+c)

т.к.2+1=-3+6, то можно сгруппировать множители

тогда

, решив эти уравнения, получим

Уравнения вида:

приводят к квадратному, если (или или )

Уравнения вида:

и дальнейшее решение приводится к решению квадратного уравнения относительно x.

тогда числитель и знаменатель каждой дроби можно разделить на x.

тогда

т.е.

Уравнения вида:

называются возвратными, если их коэффициенты одинаково удаленные от начала и конца равны.

1. 
   уравнения нечетной степени:
   

Например: уравнение 3-й степени решаются группировкой

2. 
   уравнения четной степени:
   

. Делим на x²

тогда уравнение сводится к квадратному

…

Уравнения вида:

называются обобщенными возвратными 4-й степени.

Замена:

Уравнения вида называются однородными, если

-уравнение 3-й степени.

, тогда

далее применяем подходящий способ решения. В конце, если это нужно, проверяем случай v=0

Уравнения вида: приводятся к биквадратному заменой:

, тогда

Уравнение примет вид:

и после упрощения

после упрощения

т.к.

Целесообразно в 9 классе познакомить учащихся с теоремой Безу; делением многочленов; схемой Горнера.

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а) равен значению многочлена при х = а.

Следствие:

Если а – корень, то

Теорема:

Целые корни уравнения n-й степени могут быть только среди делителей свободного члена.

т.е.

тогда действительных корней нет.

Ответ: -1

Искусственное увеличение свободного члена.

t=2, 8+16-20+2-6=0

					своб. член
	1	1	-5	1	-6
2	1	+3	+1	3	0

св. член

т.к.

Следовательно:

Ответ: -1/3; 1/2

Ответ: -1/2

скачать