Главная стр 1
скачать

Тема урока: «Решение уравнений высших степеней».


Решение алгебраических уравнений является одним из самых важных разделов алгебры, поэтому учащихся 9-х классов целесообразно познакомить с наиболее часто встречающимися приемами решений.

В начале урока можно дать историческую справку:

1) Египетские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений.

2) III век - древнегреческий математик Диофант в основном своем труде «Арифметика» дал решение задач, приводящих к диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.

3) Рубеж VI–VII вв. - творчество Омара Хайама, среднеазиатского поэта и математика (изложил решения уравнений до третьей степени включительно).

4) Конец XV в.- Лука Пачоли, итальянский математик, изложил правила арифметических действий, решения некоторых алгебраических уравнений, их приложения к геометрии, теорию геометрических пропорций.

5) 1545 г. - Джероламо Кардано нашел формулу решения неполного кубического уравнения.

6) 1591 г. - французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений.

7) П. Руффини (1765–1822) - итальянский математик, дал доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени.

8) Нильс Хендрик Абель (1802–1829) - занимается теорией интерполирования функций, теорией функциональных уравнений и теорией чисел.

9) Труды французского математика Эвариста Галуа (1811–1894) - по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной алгебры.

Ребята уже знакомы с уравнениями:

- линейные уравнения;

- линейные уравнения с модулем;

- квадратные уравнения;

- дробно-рациональные уравнения.

А вот уравнения высших степеней ново. Такими уравнениями занималось несколько математиков: итальянский математик Сципион Дальферро, итальянский учитель математики Николо и врач, философ, математик и механик Джероламо Кардано. Последний математик вывел формулу вычисления корней уравнения третей степени, данных в виде х3 + pх + q = 0.

Уравнения третьей и более степени называются уравнениями высших степеней.

1. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.







О.Д.З.

,

;

т.е.

Решая эти уравнения, находим,

2.

Разделив обе части уравнения на , получим







Затем, непосредственной проверкой убеждаемся, что не являются корнями данного уравнения.

Уравнения вида:

приводятся к квадратному, если

(или a+c=b+d или a+d=b+c)



т.к.2+1=-3+6, то можно сгруппировать множители



тогда




, решив эти уравнения, получим

Уравнения вида:



приводят к квадратному, если (или или )











Уравнения вида:



и дальнейшее решение приводится к решению квадратного уравнения относительно x.



тогда числитель и знаменатель каждой дроби можно разделить на x.



тогда





т.е.

Уравнения вида:



называются возвратными, если их коэффициенты одинаково удаленные от начала и конца равны.

  1. уравнения нечетной степени:

Например: уравнение 3-й степени решаются группировкой





  1. уравнения четной степени:

. Делим на

тогда уравнение сводится к квадратному



Уравнения вида:



называются обобщенными возвратными 4-й степени.

Замена:















Уравнения вида называются однородными, если



-уравнение 3-й степени.

, тогда

далее применяем подходящий способ решения. В конце, если это нужно, проверяем случай v=0









Уравнения вида: приводятся к биквадратному заменой:



, тогда

Уравнение примет вид:



и после упрощения

после упрощения



т.к.

Целесообразно в 9 классе познакомить учащихся с теоремой Безу; делением многочленов; схемой Горнера.



Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а) равен значению многочлена при х = а.

Следствие:

Если а – корень, то

Теорема:

Целые корни уравнения n-й степени могут быть только среди делителей свободного члена.



т.е.



тогда действительных корней нет.

Ответ: -1

Искусственное увеличение свободного члена.







t=2, 8+16-20+2-6=0














своб. член




1

1

-5

1

-6

2

1

+3

+1

3

0

св. член

т.к.

Следовательно:

Ответ: -1/3; 1/2



Ответ: -1/2





Учитель математики ПСШ №9 Кирьянова Татьяна Федоровна

скачать


Смотрите также:
«Решение уравнений высших степеней»
57.47kb.
Домаевская Ольга Алексеевна, учитель математики му сош №7 г. Конаково 2009 Цель исследования Исследовать решение
127.02kb.
«Решение иррациональных уравнений» Учитель: Бондаренко А. С. 2012-2013 учебный год Тема урока: «Решение иррациональных уравнений»
40.66kb.
Решение уравнений 3-й и 4-й степеней
28.08kb.
Лекция «Целые рациональные уравнения»
786.85kb.
Решение рациональных уравнений. Решение нелинейных уравнений
107.13kb.
Конспект урока-путешествия по математике в 6-м классе по теме «Решение уравнений»
78.92kb.
Элективный курс по математике «Решение уравнений и неравенств с параметрами. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»
37.2kb.
Разработка урока по теме «Решение уравнений различными методами» Обобщающий урок. «Решение уравнений различными методами»
56.1kb.
Решение систем уравнений
554.69kb.
Решение квадратных уравнений
167.39kb.
Практикум по алгебре в 8 классе «Решение дробных рациональных уравнений»
64.48kb.