Главная стр 1
скачать
Уравнения и системы уравнений первой степени
Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство. Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством.

Например, когда утверждают, что при любом а действительном:



а + 1 = 1 + а, здесь равенство является тождеством.

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными. Неизвестных в уравнении может быть несколько.

Например, в уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у.

Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.

Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 есть решение или корень данного уравнения.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.

Например, уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8; уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.
Свойства равносильных уравнений


  1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.

Пример. Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.

2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.

Пример. Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х, получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.

3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Пример. Уравнение 7х - 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.

4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.

Пример. Уравнение 2х - 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х 15) = 3(10 – 3х) или 6х – 45 =30 – 9х, которое имеет тот же корень х = 5.

5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).

Пример. Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х - 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.

6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).

Пример. Уравнение имеет два корня: и . Разделив все его члены на 3, получим уравнение , равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: и .

7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов.

Пример. Уравнение после умножения обеих частей на 14 примет вид:

. Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют корень х = 10.
Уравнения первой степени
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид , где произвольные числа, х – неизвестное, называется уравнением первой степени с одним неизвестным (или линейным уравнением с одним неизвестным).

Пример. 2х + 3 = 7 – 0,5х ; 0,3х = 0.

Уравнение первой степени с одним неизвестным всегда имеет одно решение; линейное уравнение может не иметь решений ( ) или иметь их бесконечное множество ( ).

Пример. Решить уравнение .

Решение. Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

.

После сокращения получим: . Раскроем скобки, чтобы отделить члены, содержащие неизвестное и свободные члены:



.

Сгруппируем в одной части (левой) члены, содержащие неизвестное, а в другой части (правой) - свободные члены:



. Приведем подобные члены: . Разделив обе части на (-22), получим х = 7.
Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
Уравнение вида , где называется уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у. Если находят общие решения двух и более уравнений то говорят, что эти уравнения образуют систему, их записывают обычно одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например .

Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы. Решить систему – это значит найти все решения этой системы или показать, что она их не имеет. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной из них являются решениями другой и наоборот, все решения другой являются решениями первой.

Например, решением системы является пара чисел х = 4 и у = 3. Эти числа являются также единственным решением системы . Следовательно, эти системы уравнений равносильны.
Способы решения систем уравнений
1. Способ алгебраического сложения. Если коэффициенты при каком-нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине, то складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Решая это уравнение, определяют одно неизвестное, а подставляя его в одно из уравнений системы, находят второе неизвестное.

Примеры: Решить системы уравнений: 1) .

Здесь коэффициенты при у по абсолютной величине равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:

Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы, например в первое, и находим значение у: .

Ответ: х = 4; у = 3.

2) .

Уравняем коэффициенты при х. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (– 2) и сложим полученные уравнения.



Ответ: .

2. Способ подстановки. Из любого уравнения системы одну из неизестных выражаем через остальные, а затем подставляем значение этой неизвестной в остальные уравнения. Рассмотрим этот способ на конкретных примерах:

1) Решим систему уравнений . Выразим из первого уравнения одно из неизвестных, например х: и подставим полученное значение х во второе уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным у:

Подставим у = 1 в выражение для х, получим .

Ответ: .

2) . В этом случае удобно выразить у из второго уравнения:

. Полученное значение у подставляем в первое уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным х:

Подставим значение х = 5 в выражение для у, получим .

Ответ: .

3) Решим систему уравнений . Из первого уравнения находим . Подставив это значение во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным у:

Подставим у = 5 в выражение для х, получим

Ответ: .

3. Способ замены. К cистемам двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно приводить некоторые нелинейные системы. Это можно осуществлять способом замены.

Пример. Решить систему. .

Перепишем систему в виде: . Заменим неизвестные, положив , получим линейную систему . Из первого уравнения выразим неизвестное . Подставим значение во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным:





. Подставив значение v в выражение для t, получим: . Из соотношений находим .

Ответ: .



Исследование системы уравнений
Исследуем сколько решений может иметь система уравнений , где - коэффициенты при неизвестных, - свободные члены.

А) Если , то система имеет единственное решение.

Б) Если , то система не имеет решений.

В) Если , то система имеет бесконечное множество решений.

Пример. . В данной системе отношение коэффициентов при одинаковых неизвестных не равны ( ), значит система имеет единственное решение.

Действительно, .



.

Ответ: .

Пример. . В данной системе или после сокращения , следовательно, система не имеет решений.

Пример. . В данной системе или после сокращения , значит, система имеет бесконечное множество решений.


Уравнения, содержащие модуль
При решении уравнений, содержащих модуль, используется понятие модуля действительного числа. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если и противоположное число ( – а), если . Модуль числа а обозначается .

Итак, . Например, , так как число 3 > 0; , так как число – 5 < 0, поэтому ; , так как ( ); , так как .



Свойства модулей:

1)

2)

3) ;

4)

5)

Пример. .

Учитывая, что выражение, стоящее под модулем, может принимать два значения и , то данное уравнение сводится к решению двух уравнений: и или и . Таким образом, модульное уравнение имеет два решения и . Сделаем проверку, подставив каждое значение х в условие: если , получим . Если , то .

Ответ: ; .

Пример. .

Это уравнение эквивалентно совокупности уравнений

Ответ: ; .

Пример. .

В данном уравнении несколько модульных выражений. Находим корни всех выражений, стоящих под знаком модуля, приравнивая их к нулю. и . Откладываем полученные значения х на числовой оси, разбивая ее на интервалы:

Если , то данное уравнение примет вид , т.к. в этом интервале, оба выражения под знаком модуля меньше нуля, и, убирая модуль, знак выражения мы должны поменять на противоположный. Решим полученное уравнение:

. Полученное число принадлежит интервалу - решение данного уравнения.

Рассмотрим следующий интервал . Граничное значение можно включить, как в первый, так и во второй интервал, так же как значение можно включить, как во второй, так и в третий. Во втором интервале наше уравнение примет вид: - это выражение не имеет смысла, т.е. на данном интервале уравнение решений не имеет. щих под знаком модуля, приравниваем их к нулю. Находим корнивсех выражений,с

Следующий интервал , уравнение примет вид: . Это число принадлежит рассматриваемому интервалу, значит также является корнем этого уравнения.

Ответ: ; .


Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним
Уравнение вида , где a, b, c – произвольные числа (a ≠ 0), а x – переменная, называется квадратным. Чтобы решить такое уравнение, нужно вычислить дискриминант D = b2 4ac. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два решения (корня): и .

Если D = 0, квадратное уравнение, очевидно, имеет два одинаковых решения (кратных корня).

Если D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решить, не вычисляя дискриминанта:

1) x(ax + b)=0

2) ax2 + c = 0 ax2 = – c ; если , то .

Между коэффициентами и корнями квадратного уравнение существует зависимости, известные как формулы или теорема Виета:

Биквадратные уравнения это уравнения вида , где a, b, c – произвольные числа (a ≠ 0). Уравнение решается с помощью замены , тогда из первоначального уравнения получаем квадратное уравнение, из которого находим у, а затем х, по формуле .

Пример. Решить уравнение . Приведем выражения в обеих частях равенства к общему знаменателю. или . Решаем полученное квадратное уравнение: , в этом уравнении a = 1, b= –2, c = –15, тогда дискриминант равен: D = b2 4ac = 64. Корни уравнения: , . Ответ: .

Пример. Решить уравнение . Делаем замену . Тогда уравнение принимает вид – квадратное уравнение, где a = 1, b = – 4, c = 3, его дискриминант равен: D = b2 4ac = 16 – 12 = 4.

Корни квадратного уравнения равны соответственно: и .

Корни исходного уравнения , , , . Ответ: .
К уравнениям первой и второй степени сводится много дробных уравнений с одним неизвестным. Для решения таких уравнений полезно все дроби перенести в левую часть уравнения, сведя их к общему знаменателю,

т.е. свести его к уравнению вида , где Pn(x) и Pm(x) – многочлены степеней n и m соответственно. Дробь равняется нулю, если числитель равняется нулю, а знаменатель - нет, но такое многочленное уравнение преимущественно получают лишь после продолжительных преобразований, переходов от одного уравнения к другому. В процессе решения, таким образом, каждое уравнение заменяют на какое-то новое, а у нового могут быть новые корни. Проследить за этими изменениями корней, не допустить потерь корней и суметь отвергнуть лишние из них - задача правильного решения уравнений.

Понятно, что наилучший способ - каждый раз заменять одно уравнение на равнозначное, тогда корни последнего уравнения и будут корнями исходного. Тем не менее, такой идеальный путь тяжело осуществить на практике. Как правило, уравнение заменяют его следствием, вообще не обязательно ему равнозначным, при этом все корне первого уравнения есть корнями второго, т.е. потеря корней не происходит, но могут появиться посторонние (а могут и не появиться). В случае, когда хотя бы раз в процессе преобразований уравнения заменялось на неравнозначное, нужна обязательная проверка полученных корней.

Итак, если решение осуществлялось без анализа равнозначности и источников появления посторонних корней, проверка является обязательной частью решения. Без проверки решение не будет считаться полноценным, если даже посторонние корни не появились. Когда же они появились и не отброшены, то это решение просто неправильное.

Приведем некоторые свойства многочлена:

Корнем многочлена называют значение x, при котором многочлен равняется нулю. Любой многочлен степени n имеет ровно n корней. Если многочленное уравнение записано в виде , то , где x1, x2,…, xn – корни уравнения.

У любого многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами есть хотя бы один действительный корень, а вообще у него всегда нечетное число действительных корней. Многочлен четной степени может не иметь действительных корней, и когда они есть - их количество четное.

Многочлен при любых обстоятельствах можно разложить на линейные множители и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом. Если знаем его корень x1, то Pn(x) = (x - x1) Pn-1(x).

Если Pn(x) = 0  уравнение четной степени, то кроме способа разложения его на множители, можно попробовать ввести замену переменной, с помощью которой степень уравнения понизится.

Пример. Решить уравнение:

.

Это уравнение третьей (нечетной) степени означает, что ввести вспомогательную переменную, которая понизит степень уравнения,  невозможно. Его надо решать методом разложения на множители левой части, для чего сначала раскроем скобки, а потом запишем его в стандартной форме.



Получим: x3 + 5x – 6 = 0.

Это приведенное уравнение (коэффициент при высшей степени равен единице), поэтому ищем его корни среди множителей свободного члена – 6. Это числа ±1,±2,±3,±6. Подставляя x = 1 в уравнение, видим, что x = 1 является его корнем, поэтому многочлен x3 + 5x –6 = 0 делится на (x 1) без остатка. Выполним это деление:



x3 + 5x –6 = 0 x 1

x3x2 x2 +x +6

x2 +5x 6

x2 x

6x 6

6x 6

0.

Поэтому x3 + 5x –6 = 0; (x 1)(x2 + x + 6) = 0



Первое уравнение дает корень x = 1, который уже подобран, а во втором уравнении D<0, оно не имеет действительных решений. Поскольку ОДЗ этого уравнения , то можно не проверять.

Ответ: 1.

Пример. Решить уравнение

ОДЗ этого уравнения . Если перемножить первый множитель с третьим, а второй с четвертым, то в этих произведениях будут одинаковые части, которые зависят от x: (x2 + 4x – 5)(x2 + 4x – 21) - 297 = 0.

Пусть x2 + 4x = y, тогда уравнение запишем в виде (y – 5)(y 21) 297 = 0.

Это квадратное уравнение имеет решения: y1 = 32, y2 = - 6 . Возвращаясь к старым переменным, получим Первое уравнение по теореме Виета имеет корни x1 = – 8 и x2 = 4, а второе - отрицательный дискриминант.

Ответ: { – 8; 4}.

Пример. Решить уравнение ; ОДЗ: x ≠ – 9.

Если сведем данное уравнение к общему знаменателю, в числителе появится многочлен четвертой степени. Итак, допускается замена переменной, которая понизит степень уравнения. Поэтому не надо сразу сводить это уравнение к общему знаменателю. Здесь можно заметить, что слева стоит сумма квадратов. Итак, можно дополнить ее до полного квадрата суммы или разности. На самом деле вычтем и прибавим удвоенное произведение оснований этих квадратов: . Пусть , тогда y2 + 18y – 40 = 0. По теореме Виета y1 = 2; y2 = – 20.

Первое уравнение дает решение , а во втором D < 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Ответ: .

Если уравнение имеет вид ax4 + bx3 + cx2 ± bx +a = 0 , где a ≠ 0, то для него можно всегда ввести новую переменную, которая понизит его степень; x = 0 не является корнем уравнения, поэтому, если поделим обе части уравнения на x2 , – не потеряем корней. В результате получим:



или .

Заменим переменную:



.

Получим квадратное уравнение a(y2 2) + by + c = 0. Этого способа решения можно придерживаться также в других уравнениях четвертого порядка .


Иррациональные уравнения
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала (корня ) или под знаком возведения в дробную степень ( ). Иррациональными являются уравнения и т. д.

Иррациональные уравнения можно свести к рациональным после ряда преобразований. Наилучший способ избавиться от иррациональности – метод введения новой переменной, если он возможен для данного уравнения. Когда это невозможно, надо изолировать один радикал и обе части уравнения возвести в степень, которая даст возможность освободиться от радикалов. При необходимости такую процедуру повторяют.

Необходимо учесть, что:

а) при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получим равносильное уравнение;

б) при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни.

При этом проверки корней по области допустимых значений недостаточно, нужно еще проверить, будут ли найденные корни удовлетворять начальное уравнение. В самом деле, уравнение и имеют одну и ту же область определения неизвестной. При возведении первого и второго уравнения в квадрат получим одно и то же уравнение . Решениями этого уравнения есть решения обеих иррациональных уравнений.

Здесь следует заметить, что при решении любых уравнений нельзя забывать об одном из мощнейших средств решения, которым является разложение на множители равные нулю.

Пример. Решить уравнение .

. Возведем в квадрат обе части , получим .

Проверка: .

Ответ .

Пример.


Решить уравнение .

ОДЗ этого уравнения

Попробуем разложить квадратные трехчлены 2x2-9x + 4 и 2x2 + 21x – 11 на множители. Корнями первого являются числа 4; , а корнями второго (–11); , поэтому 2x2-9x + 4 = (x – 4)(2x – 1).

Воспользуемся 2x2 + 21x – 11 = (x + 11)( 2x – 1) и получим .

Когда 2x – 1  0, то x + 11  0 и x – 4  0. Поэтому можно воспользоваться формулой при условии a  0, b  0 и вынести общий множитель за скобки.

Получим .

Отсюда

Обе части второго уравнения неотрицательны, что означает: при возведении в квадрат обеих частей уравнения будем иметь эквивалентные уравнения x – 4 = 1, x = 5.

Таким образом получено два корня: . Оба удовлетворяют области определения уравнения. При решении последовательно, получали каждый раз эквивалентные уравнения, поэтому непосредственной проверки в этом случае можно не делать.

Ответ:

Пример. Решить уравнение .

ОДЗ этого уравнения – . Разложим квадратный трехчлен x2–3x + 2 на множители: x2–3x + 2 = (x – 1)(x – 2).

Если , то . Тогда уравнение запишем в виде .

Это – так называемое однородное уравнение, т.е. такое, в котором одно выражение (зависящее от x) обозначим буквой u, а другое – v и получим уравнение, где все слагаемые одной и той же степени относительно u и v. В таком уравнении всегда можно ввести новую переменную, поделив обе его части на одно из слагаемых, только надо следить, чтобы не потерять корней.

В нашем уравнении, обозначив и , получим , т.е. все слагаемые второй степени. Значение x = 2 не будет корнем уравнения. Это легко проверить, если подставить x = 2. Поэтому поделим обе части уравнения на , после чего .

Пусть , тогда исследуемое уравнение запишется в виде с корнями . Через y было обозначено частное корней четной степени, поэтому она не может быть отрицательной, вот почему второй корень не подходит. Обращаясь к старой переменной, получим: . Дальше возведем обе части уравнения в четвертую степень. Они положительные, поэтому получим равнозначное уравнение . Вследствие решения: . По области определения этот корень подходит и при возведении обеих частей уравнения в четную четвертую степень, лишние корни не получены, поэтому проверка не нужна.

Ответ: .


Задания для самостоятельной работы


  • 1. .

  • Ответ: 1.


2. .

Ответ: .

3. .

Ответ: .

4. .

Ответ: 4.

5. .

Ответ: .

6. .

Ответ: .

7. .

Ответ: 1.

8. .

Ответ: 14.

9. .

Ответ: 3.

10. .

Ответ: 13.

11. .

Ответ: 0.

12. .

Ответ: 3.

13. .

Ответ: 5.

14. .

Ответ: 10.

15. .

Ответ: 2.

16. .

Ответ: {– 5;5}.

17. .

Ответ: {– 1;1}.

18. .

Ответ: {– 2;2}.

19. .

Ответ: {– 6;6}.

20. .

Ответ: 7.


  1. 21. .


Ответ:

23. .

Ответ:

24. .

Ответ: 81.

25. .

Ответ: 11.

26. .

Ответ: 12.

27. .

Ответ: 15.

28. .

Ответ: 5.

29. .

Ответ: 9.

30. .

Ответ:

31. .

Ответ: 100.

32. .

Ответ: 2.

33. .

Ответ: 10.

34. .

Ответ:

35. .

Ответ:

36. .



Ответ: 81.


скачать


Смотрите также:
Уравнения и системы уравнений первой степени
447.41kb.
Задача Коши для одного уравнения и системы уравнений. Формулировка теоремы существования и единственности.
20.82kb.
Системы линейных уравнений
42.22kb.
Лекция «Целые рациональные уравнения»
786.85kb.
Решение показательных уравнений
35.54kb.
Решением системы уравнений. Решить систему значит найти все ее решения или доказать, что решений нет
63.56kb.
Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Линейные уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений и неравенств»
31.24kb.
Уравнения с двумя неизвестными в целых числах
145.14kb.
Составление уравнения по условию текстовой задачи
44.17kb.
Вопросы к экзамену по курсу «Уравнения математической физики»
41.66kb.
Экзаменационные вопросы по курсу "уравнения математической физики"
31.93kb.
Конспект урока «Основные типы иррациональных уравнений»
45.8kb.