IV. Будем называть бесконечно малыеиэквивалентными (в знаках:), если их разностьоказывается величиной высшего порядка, чем каждая из бесконечно Малых и :

Впрочем, достаточно потребовать, чтобы была высшего порядка, чем одна из этих бесконечно малых, потому что, если, например, высшего порядка чем то она будет также высшего порядка чем

Действительно, из того, что следует, что и

Рассмотрим две эквивалентные бесконечно малые и так что Если приближенно положить¹, то — по мере уменьшения обеих величин — стремится к нулю не только абсолютная погрешность от этой замены, представляемая величиной,но и относительная погрешность, равная

Иными словами, при достаточно малых значенияхиможно со сколь угодно большой относительной точностью положить На этом основана, при приближенных выкладках, замена сложных бесконечно малых эквивалентными им простыми.

Установим полезный критерий эквивалентности двух бесконечно малых, который в сущности дает второе определение этого понятия, равносильное ранее данному:

Положивбудем иметь

Отсюда сразу и вытекает наше утверждение. Действительно, если то т. е. есть бесконечно малая высшего порядка чем Обратно, если дано, что а тогда

С помощью этого критерия, например, видно, что при бесконечно малая эквивалентна эквива эквиволентно Отсюда — приближенные формулы:

Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределенности вида, т. е. при разысканий предела отношения двух бесконечно малых

Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой. Действительно, если и т.е.

отличающееся от отношениямножителями, стремящимися к единице, имеет предел одновременно с ним (и притом тот же).

Если удается выбрать идостаточно простыми, то это может сразу значительно упростить задачу; например,

Из доказанного вытекает также, что две бесконечно малые, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой.