Главная стр 1
скачать
Содержание программы учебной дисциплины

Таблица 3. Содержание разделов дисциплины
№№

ппНаименова-

ние раздела дисциплиныТрудоемкость

(часы/ зач.ед.)СодержаниеФормируемые

компетенцииРезультаты освоения

(знать, уметь, владеть)Образовательные

технологии123456711. Введение

в математический анализ

4 Тема 1. Множества и функции

Множества. Объединение, пересечение, разность множеств, их свойства (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность). Модуль числа, его свойства. Грани числовых множеств. Декартово произведение множеств. Счетное множество и множество мощности континуума.

Функции, способы их задания. Сложная и обратная функции. Классификация функций (элементарные, рациональные, трансцендентные). Свойства функций (четность, периодичность, монотонность, ограниченность). Примеры “экономических” функций (функции спроса и предложения).ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,

ПК-10,


ПК-15Знать: способы задания множеств и действия над ними. Способы задания функций, их вид, свойства

Уметь: изобразить графики основных элементарных функций, задать экономические функции.

Владеть: техникой построения графиков основных элементарных функций.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа

4Тема 2. Предел числовой



последовательности.

Числовые последовательности. Предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Необходимые и достаточные условия существования предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: понятие числовой последовательности, ее предела, понятие бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей, условия существования предела последовательности, свойства сходящихся последовательностей.



Уметь: определить сходимость числовой последовательности.

Владеть: методами нахождения пределов.Лекции,

практические

занятия, самостоятельная

работа18Тема 3. Предел функции

Определение предела функции по Коши и по Гейне. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрическая интерпретация предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Теоремы о пределах (свойства пределов).

Первый и второй замечательные пределы (с доказательством). Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях (непрерывное начисление процентов в одноразовых платежах и в потоках платежей).ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: определения бесконечно малых и бесконечно больших функций, их свойства. Определение предела функции по Коши и по Гейне, условия его существования, геометрический смысл, свойства.



Доказать: свойства бесконечно малых функций и пределов; первый и второй замечательные пределы.

Уметь: применить первый и второй замечательные пределы в экономических задачах.

Владеть: методами нахождения пределов.Лекции,

практические

занятия, самостоятельная

работа4Тема 4. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функции

Сравнение бесконечно малых функций. Порядок малости бесконечно малых функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва функций первого и второго рода.

ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,

ПК-10,


ПК-15Знать: как сравниваются бесконечно малые функции. Как определить непрерывность функции в точке и на отрезке, как найти точки разрыва функций. Свойства непрерывных функций.

Доказать: непрерывность функции.

Уметь: сравнить бесконечно малые функции. Найти порядок малости бесконечно малой функции. Производить действия над непрерывными функциями. Найти точки разрыва функции.

Владеть: использованием свойств непрерывных функций.Лекции,

практические

занятия, самостоятельная

работа2Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной



11Тема 5. Производная функции

Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования функций. Вывод формул дифференцирования тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмической, показательной, степенной и показательно-степенной функций. Таблица производных. Касательная к плоской кривой.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: правила нахождения производных функций и таблицу производных.



Доказать: правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций.

Уметь: пользоваться правилами дифференцирования и таблицей производных.

Владеть: техникой дифференцирования функций.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа8Тема 6. Дифференциал функции. Предельный анализ

Дифференциал функции, его определение, свойства, геометрический смысл, применение для приближённых вычислений, оценка точности приближённых вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков. Эластичность функции, её геометрический и экономический смысл, свойства. Предельный анализ. Предельные издержки, предельная выручка, предельная прибыль.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: определение, свойства, геометрический смысл дифференциала, определение эластичности функции, ее экономический смысл, свойства.



Уметь: использовать дифференциал функции для приближенных вычислений, находить эластичность функций.

Владеть: умением использовать эластичность функций при решении экономических задач.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа6 Тема 7. Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ролля. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции. Теорема Коши. Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей при нахождении пределов. Формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член. Разложения элементарных функций по формуле Маклорена. Применение формулы Маклорена для нахождения пределов и вычисления значений функций. Применение формулы Тейлора для нахождении параметров купонных облигаций (дюрация и выпуклость). Использование формулы Маклорена для сравнения эффективности финансовых операций при различных схемах наращения и дисконтирования денежных сумм.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: теоремы о дифференцируемых функциях, правило Лопиталя, вид формул Маклорена и Тейлора и их остаточного члена.



Доказать: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя, формулы Тейлора и Маклорена.

Уметь: использовать теоремы о дифференцируемых функциях, записать разложения основные элементарные функций по формулам Тейлора и Маклорена.

Владеть: умением применять правило Лопиталя, использовать формулы Тейлора и Маклорена и их остаточных членов для приближенных вычислений.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа8 Тема 8. Применение дифференциального исчисления для исследования функций

Необходимый и достаточный признаки монотонности функции. Необходимый и достаточные признаки экстремума функции. Необходимый и достаточный признаки выпуклости, вогнутости функции. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции и построения графика.

Методы приближенного решения алгебраических уравнений (метод хорд и метод касательных-Ньютона). Их применение для нахождения внутренней доходности купонных облигаций).ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,

ПК-10,


ПК-15Знать: признаки монотонности и экстремума функции, условия выпуклости графика функции.

Уметь: находить интервалы монотонности и выпуклости функций, экстремумы функций, точки перегиба и асимптоты графика функции.

Обосновать: метод хорд и метод касательных решения уравнений.

Владеть: техникой построения графиков функций.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа,

математический практикум3Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций



нескольких переменных

11Тема 9. Функции нескольких переменных: определение, предел, непрерывность,частные производные

Линии и поверхности уровня. Пределы последовательности и функции нескольких переменных, их свойства пределов. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Функция полезности. Линии безразличия. Производственные функции. Функция Кобба-Дугласа. Предельные и средние значения производственной функции.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: определение предела, непрерывности функции нескольких переменных.



Уметь: находить пределы, линии и поверхности уровня, частные производные функции нескольких переменных.

Владеть: умением находить средние и предельные значения экономических функций, умением использовать экономические функции (функция полезности, функция Кобба-Дугласа).Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа, математический практикум18Тема 10. Дифференцируемость функций нескольких переменных

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Полный дифференциал функции, его применение. Частные производные сложной функции и функции, заданной неявно. Производная функции по направлению. Градиент функции, его свойства. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных высших порядков.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: условия дифференцируемости функции нескольких переменных, формулы нахождения частных производных сложных и неявных функций.



Уметь: записать полный дифференциал, частные производные первого и высших порядков функции нескольких переменных

Владеть: техникой дифференцирования функций нескольких переменныхЛекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа, математический практикум20Тема 11. Экстремум функции нескольких переменных

Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Необходимый и достаточный признаки экстремума функции двух переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Глобальный экстремум функции нескольких переменных. Примеры с экономическим содержанием. Функция полезности и задача потребительского выбора. Кривая безразличия. Предельная норма замещения. Функции спроса.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: формулу Тейлора для функции нескольких переменных, необходимый и достаточный признаки экстремума функции нескольких переменных.



Уметь: найти условный и глобальный экстремумы функции нескольких переменных.

Доказать: формулу Тейлора, необходимый и достаточный признаки экстремума.

Владеть: способностью исследования функций нескольких переменных на экстремум, применения функции нескольких переменных в задачах экономического содержания (задача потребительского выбора и др.)Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа, математический практикум14Тема 12. Метод наименьших квадратов

Аппроксимация эмпирических данных методом наименьших квадратов (МНК). Критерий качества аппроксимации в методе наименьших квадратов. Нормальные системы уравнений для нахождения параметров аппроксимирующих функций вида:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: суть методов аппроксимации опытных данных, вид нормальных систем уравнений для нахождения параметров аппроксимирующих функций, критерий качества аппроксимации в методе наименьших квадратов.



Уметь: составить нормальную систему уравнений для нахождения параметров аппроксимирующей функции.

Обосновать: метод наименьших квадратов.

Владеть: способностью решать экономические задачи с использованием метода наименьших квадратов. Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа, математический практикум4Раздел 4. Интегралы7Тема 13. Неопределённый интеграл. Методы интегрирования

Теорема о существовании первообразной функции. Определение неопределённого интеграла, его свойства, геометрический смысл. Таблица неопределённых интегралов. Методы нахождения неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: условия существования неопределенного интеграла, его свойства, таблицу неопределенных интегралов, методы его нахождения.



Доказать: теорему о существовании первообразной функции.

Уметь: использовать свойства, таблицу и методы нахождения неопределенных интегралов.

Владеть: техникой применения методов нахождения неопределенных интегралов.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа20 Тема 14. Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок. Понятие о «неберущихся» интегралах.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: способы нахождения неопределенных интегралов от рациональных, иррациональных и тригонометрических функций, виды «неберущихся» интегралов.



Уметь: найти неопределенные интегралы от рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.

Владеть: техникой нахождения неопределенных интегралов от рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа16Тема 15. Определённый интеграл. Несобственные интегралы

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Объем продукции при переменной производительности труда. Верхняя и нижняя интегральные суммы, их свойства. Определение определённого интеграла. Взаимосвязь неопределённого и определённого интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определённого интеграла. Методы интегрирования определённых интегралов.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывных функций. Теоремы об их сходимости. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,

ПК-10,


ПК-15Знать: задачи, приводящие к понятию определённого интеграла, понятие интегральной суммы. Определение определённого интеграла, его свойства, взаимосвязь неопределённого и определённого интегралов, формулу Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования. Несобственные интегралы и теоремы об их сходимости.Формулу Лейбница дифференцирования интеграла, зависящего от параметра.

Уметь: применить методы интегрирования определенных и несобственных интегралов, найти производную интеграла, зависящего от параметра.

Владеть: техникой нахождения определенных и несобственных интегралов.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа, математический практикум14Тема 16. Геометрические приложения определённого интеграла. Приближённое вычисление определённых интегралов

Вычисление площадей фигур, объёмов тел вращения, длины дуги кривой. Приближённое вычисление определённых интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Использование интегрального исчисления в экономических исследованиях. Кривая Лоренца относительного распределения дохода. Коэффициент неравномерности распределения дохода (коэффициент Дженни).ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: формулы вычисления площадей фигур, объёмов тел вращения, длины дуги кривой, формулы приближённого вычисления определённых интегралов (формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона).



Уметь: использовать интегральное исчисление при решении экономических задач.

Владеть: техникой вычисления параметров геометрических фигур. Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа. математический практикум6Тема 17. Кратные интегралы

Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Вычисление двойных интегралов, используемых в приложениях. ОК-1,2 ОК-6,7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства.



Уметь: вычислить двойные интегралы.

Владеть: способностью вычислять двойные интегралы, используемые в приложении.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа5Раздел 5. Дифференциальные уравнения5Тема 18. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Нахождение уравнения по его решению. Дифференциальное уравнения первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с однородными функциями. Использование дифференциальных уравнений в экономике.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: основные понятия о дифференциальных уравнениях, теорему о существовании и единственности решения. Вид дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и с однородными функциями.



Уметь: определить тип дифференциального уравнения, методы его решения.

Владеть: способностью решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с однородными функциями.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа, математический практикум10Тема 19. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейные дифференциальные уравнения, решение методом замены переменной и методом вариации произвольной постоянной. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Применение дифференциальных уравнений в экономических исследованиях. Модель естественного роста выпуска. Динамическая модель Кейнса.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: вид линейного дифференциального уравнения первого порядка, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах. Методы решения этих уравнений.



Уметь: определять тип дифференциальных уравнений.

Владеть: техникой решения данных дифференциальных уравнений.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа7Тема 20. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Уравнения вида . Уравнения второго порядка, приводимые к уравнениям первого порядка.ОК-1,2, ОК-6,7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: тип дифференциальных уравнений высшего порядка.



Уметь: приводить решение дифференциальных уравнений второго порядка к решению уравнений первого порядка.

Владеть: техникой решения уравнений высших порядков.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа6Тема 21. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Свойства решений линейного дифференциального уравнения. Определитель Вронского. Общее решение неоднородного линейного уравнения. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения. Решение квадратного уравнения с действительными коэффициентами в комплексной плоскости.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: свойства решений линейного дифференциального уравнения, вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка.



Уметь: определить вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Владеть: способностью решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.

Лекции,


практические

занятия,


самостоятельная

работа, математический практикум6Раздел 6. Ряды4Тема 22. Понятие числового ряда и его сходимости. Свойства сходящихся рядов

Числовой ряд. Частичная сумма ряда. Остаток ряда. Сходящийся ряд. Сумма ряда. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимый признак сходимости, его следствие. Классификация рядов по знакам его членов.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,

ПК-10,


ПК-15Знать: основные понятия о числовом ряде и его сходимости, свойства сходящихся рядов, необходимый признак сходимости числового ряда.

Уметь: определить тип числового ряда и проверить выполнение необходимого признака сходимости.

Владеть: способностью проверить выполнение необходимого признака сходимости числовых ряда.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа12Тема 23. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Признаки сравнения знакоположительных рядов. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.ОК-1,2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.



Доказать: признаки сравнения рядов, признак Даламбера и признаки Коши.

Уметь: определить, какой признак сходимости необходимо применить для определения сходимости числового ряда.

Владеть: техникой определения сходимости числовых рядовЛекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа10Тема 24. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда. Степенные ряды

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости числового ряда. Абсолютная и условная сходимость ряда. Функциональные ряды. Равномерная сходимость ряда. Степенные ряды, их свойства. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: признаки сходимости знакопеременных и знакочередующихся числовых рядов, понятие равномерной сходимости степенного ряда, вид области сходимости степенного ряда.



Доказать: теоремы Лейбница, Абеля и об абсолютной сходимости ряда.

Уметь: находить абсолютную и условную сходимость для числового ряда, область сходимости степенного ряда.

Владеть: техникой определения сходимости числовых рядов, нахождением области сходимости степенных рядов.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа8Тема 25. Разложение функций в степенной ряд

Необходимые и достаточные условия разложения функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в степенной ряд Маклорена.ОК-1,2, ОК-6,7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: условия разложения функции в степенной ряд, разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена.



Уметь: разложить элементарную функцию в степенной ряд.

Владеть: техникой разложения функций в степенной ряд. Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа10Тема 26. Применение рядов для приближённых вычислений

Вычисление значений функций. Вычисление интегралов. Интегрирование дифференциальных уравнений. Оценка погрешности вычислений.ОК-1, ОК-2, ОК-6, ОК-7, ОК-12,

ОК-13, ПК-16,

ПК-9,


ПК-10,

ПК-15Знать: способы применения числовых рядов для приближенных вычислений значений функций, вычисления определенных интегралов, интегрирования дифференциальных уравнений.



Уметь: применять числовые ряды для приближенных вычислений и производить оценку погрешности при этом.

Обосновать: как обеспечивается точность вычислений при использовании рядов.

Владеть: способами вычисления значений функций и нахождения определенных интегралов с помощью числовых рядов в с заданной точностью.Лекции,

практические

занятия,

самостоятельная

работа, математический практикумИтого324 час.

Примерные темы курсовых работ
1. Функции и графики в экономическом анализе.

2. Применение дифференциального исчисления в задачах финансового обслуживания.

3. Эластичность и ее применение в экономическом анализе.

4. Соотношение между суммарными, средними и предельными величинами в экономике.

5. Функция полезности. Исследование модели потребительского спроса.

6. Задачи оптимизации производства.

7. История развития основных понятий математического анализа.
Распределение часов по темам и видам работ

Дисциплина изучается на первом курсе в течение четырех модулей. Объем курса 324 часа, в том числе 58 часов лекций, 86 часов лабораторных занятий, 180 часов самостоятельной работы студентов. Форма контроля – зачет, экзамен, курсовая работа.

Наименование разделов и темАудиторные часыСамостоятельная работаВсего трудоемкость (часы / зач.ед.)Формы текущего контроляЛекцииПрактиче-ские

занятияВсего1234567Модуль 1.1.Раздел 1. Введение в математический анализ Тема 1. Множества и функции11224Тема 2. Предел числовой последовательности 11224Тема 3. Предел функции4610818К.р.Тема 4. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функции11224Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменнойТема 5. Производная функции246511Тема 6. Дифференциал функции. Предельный анализ24628Тема 7. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя.22426К.р.Тема 8. Применение дифференциального исчисления для исследования функций22448К.р.Выполнение раздела курсовой работы1818Всего за модуль 1.1.1521364581Тест.Модуль 1.2.


1234567Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменныхТема 9. Функции нескольких переменных: предел, непрерывность, частные производные448311Тема 10. Дифференцируемость функций нескольких переменных5510818Тема 11. Экстремум функции нескольких переменных4812820К.р.Тема 12. Метод наименьших квадратов246814К.р.Выполнение раздела курсовой работы1818Всего за модуль 1.2.1521364581Всего за 1 семестр28447290162Зачет1234567Модуль 2.1.Раздел 4. ИнтегралыТема 13. Неопределённый интеграл. Методы интегрирования12347Тема 14. Нахождения неопределённых интегралов4812820К.р.Тема 15. Определённый интеграл. Несобственные интегралы4610616Тема 16. Геометрические приложения определённого интеграла. Приближённое вычисление определённого интеграла448614К.р.Тема 17. Кратные интегралы 12336Выполнение раздела курсовой работы1818Всего за модуль 2.11422364581Тест.Модуль 2.2.Раздел 5. Дифференциальные уравненияТема 18. Дифференциальные уравнения первого порядка12325Тема 19. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли246410К.р.Тема 20. Дифференциальные уравнения высших порядков12347Тема 21. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка22426К.р.

1234567Раздел 6. РядыТема 22. Понятие числового ряда и его сходимости. Свойства сходящихся рядов2-224Тема 23. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов448412Тема 24. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда. Степенные ряды246410К.р.Тема 25. Разложение функций в степенной ряд22448Тема 26. Применение рядов для приближённых вычислений426410К.р.Защита курсовой работы1818Всего за модуль 2.2.1422364581Всего за 2 семестр28447290162Итого за учебный год5688144180324Итоговый экзамен




Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение дисциплины
  1. (Литература, вопросы для самопроверки и задания для самостоятельной работы по каждой теме дисциплины, вопросы к экзамену, примерные темы курсовых работ)


Литература

Основная литература

1. Общий курс высшей математики для экономистов под ред. В.И.Ермакова.

–М.: «ИНФРА-М», 1999.



2. Сборник задач по высшей математике для экономистов под ред. В.И.Ермакова. – М.: «ИНФРА-М», 2001.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика.–М.: Высшая школа, 1985.

4. Барбаумов В. Е., Андреянов П. А., Смагина О. К. N-мерное пространство. Функции. Экстремумы. – М.: Изд-во Рос. экон. акад., ТТО «Община», 1992.

5 Шершнев В. Г., Сагитов Р. В., Силаева Е. А., Полякова С Т. Сборник задач по математическому анализу. – М.: «Менеджер», 2008.

6. Замков О.О. Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М., «ДИС», 1997.

Дополнительная литература

1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М., «Дело» , 2000.

2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. М., Инфра-М, 1998.

3. Чуйко А.С., Шершнев В.Г. Математические основы финансового обслуживания. М.: Изд-во Рос. Экон. Акад., 1998.



4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука. 1989.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.т. I, II. – М.: Наука, 1976.

6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике –М.: Наука.

7. Барбаумов В.Е., Гладких И.М., Чуйко А.С. Финанасовые инвестиции. Часть I. Инвестиции с фиксированными доходами. М.: Изд-во Рос. Экон. Акад., 2000.



Рекомендуемые обучающие, справочно-информационные, компьютерные программы, используемые при изучении дисциплины

№ п/пНазвание рекомендуемых программ

компьютерных средств обучениятемы1MS ExcelТемы 1-262DERIVE

Раздел 1. Введение в математический анализ
Тема 1. Множества и функции

Л1 стр. 151–168, 175–179.



Вопросы для самопроверки

  1. Что такое множество? Привести примеры.

  2. Что такое подмножество?

  3. Каким образом задаётся множество?

  4. Что такое конечное, бесконечное и пустое множество?

  5. Что такое кванторы?

  6. Дать определения операций над множествами.

  7. Какими свойствами обладают операции над множествами?

  8. Дать определение верхней (нижней) грани и точной верхней (нижней) грани числового множества.

  9. Дать определение счетного множества.

  10. Что такое декартово произведение множеств?

  11. Что такое мощность множества?

  12. Какое множество обладает мощностью континуума?

  13. Дать определение функции.

  14. Какими способами могут быть заданы функции?

  15. Что такое сложная, обратная функции? Привести примеры.

  16. Какие функции называются основными элементарными и элементарными?

  17. Какие функции называются алгебраическими, рациональными и трансцендентными?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 135–141 №№ 10.4–10.85; Л5 №№ 1.1–1.16.


Тема 2. Предел числовой последовательности
Л1 стр. 179–191.

Вопросы для самопроверки

  1. Дать определение числовой последовательности.

  2. Какая последовательность называются ограниченной (неограниченной)? Привести примеры.

  3. Какая последовательность называется бесконечно малой (большой)? Привести примеры.

  4. Как взаимосвязаны бесконечно малая последовательность и последовательность обратных величин ее членов?

  5. Какими свойствами обладают бесконечно малые последовательности?

  6. Сформулировать определение предела последовательности.

  7. Какая последовательность называется сходящейся (расходящейся)? Привести примеры.

  8. Какими свойствами обладают сходящиеся последовательности?

  9. Привести примеры монотонных последовательностей.

  10. Сформулировать теорему Больцано-Коши.

  11. Сформулировать теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 142–145 №№ 10.11–11.30.


Тема 3. Предел функции

Л1 стр. 192–196; Л3 гл. 4. §§ 2–5.



Вопросы для самопроверки

  1. Дать определение конечного и бесконечного предела функции по Коши на языке – при и .

  2. Каков геометрический смысл предела при и ?

  3. Что такое односторонние пределы?

  4. В чём состоят необходимые и достаточные условия существования предела функции?

  5. Что такое бесконечно малые и бесконечно большие функции и как они взаимосвязаны?

  6. Какими свойствами обладают бесконечно малые функции?

  7. Сформулировать теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции.

  8. Какими свойствами обладают пределы функций?

  9. Сформулировать и доказать первый замечательный предел.

  10. Сформулировать и доказать второй замечательный предел.

  11. Что такое непрерывное начисление процентов.

  12. Записать формулы наращенной и приведенной сумм финансовой ренты.


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 145–147 №№ 11.32–11.45; Л5 №№ 1.17–1.50; ЛД6 №№ 734-804.


Тема 4. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функции

Л1 стр. 197–205; Л3 гл. 4.§§ 6 – 12; ЛД5 т.I, гл.2. §§9 –11.



Вопросы для самопроверки

  1. Что значит сравнить бесконечно малые функции?

  2. Какие бесконечно малые функции называются эквивалентными?

  3. Дать определение непрерывности функции в точке?

  4. Какая функция называется непрерывной на отрезке?

  5. Какие действия можно выполнять над непрерывными функциями?

  6. Доказать непрерывность некоторых основных элементарных функций.

  7. Какими свойствами обладают непрерывные функции?

  8. Что такое точка разрыва функции?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр.147–148 №№ 11.46–11.58; Л5 №№ 1.51–1.62; ЛД6 №№ 805–847.



Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Тема 5. Производная функции

Л1 стр. 206–217; Л3 гл. 5. §§1–9; ЛД5 т.I, гл. 3. §§1 –15.



Вопросы для самопроверки

  1. Дать определение производной функции.

  2. Как взаимосвязаны непрерывность и дифференцируемость функций.

  3. Вывести формулы правил дифференцирования функций.

  4. Вывести формулы дифференцирования основных элементарных функций.

  5. Записать таблицу производных функций.

  6. Сформулировать правило нахождения производной сложной функции.

  7. Как найти производную показательно-степенной функции?

  8. Что такое логарифмическая производная?

  9. Как найти производную неявной функции?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр.150–156 №№ 12.3-12.109; Л5 №№ 2.1–2.87; ЛД6 №№ 848–1063.


Тема 6. Дифференциал функции. Предельный анализ

Л1 стр. 217–222; Л3 гл. 5 §§10–11; ЛД1 т.I гл. 3 §§16 –18, 20 –23.



Вопросы для самопроверки

  1. Что такое дифференциал функции и каковы его свойства?

  2. Каков геометрический смысл дифференциала?

  3. Как применяется дифференциал для приближённых вычислений?

  4. Что такое дифференциалы высших порядков?

  5. Что такое эластичность функции и каковы её свойства?

  6. Каков геометрический и экономический смысл эластичности функции?

  7. Что такое предельные издержки, предельная выручка, предельная прибыль?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 159–162, 276–287 №№ 12.117–12.149; Л5 №№ 22.88–2.97;

ЛД6 №№ 1064–1089.
Тема 7. Теоремы о дифференцируемых функциях

Л1 стр. 222–233; Л3 гл. 6. §§1–3; ЛД5 т.I гл. 4 §§1 – 7.



Вопросы для самопроверки

  1. Сформулировать теорему Ролля и привести примеры её применения.

  2. Сформулировать теорему Лагранжа, объяснить её геометрический смысл.

  3. Сформулировать теорему Коши.

  4. Когда можно использовать правило Лопиталя?

  5. Записать формулу Тейлора и её остаточный член.

  6. Записать формулу Маклорена и её остаточный член.

  7. Записать разложения по формуле Маклорена функций .

  8. Привести примеры применения формулы Маклорена для вычисления значений функций и нахождения пределов.

  9. Что такое дюрация и выпуклость купонной облигации?

  10. Как используется формула Маклорена для сравнения эффективности финансовых операций?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 163–169 №№ 12.151–12.204; Л5, №№ 2.98–2.125;

ЛД6 №№ 1090–1157.
Тема 8. Применение дифференциального исчисления для исследования функций

Л1 стр. 233–245; Л3 гл. 6 § 4; ЛД5 т.I, гл. 5. §§1 – 11.



Вопросы для самопроверки

  1. Сформулировать необходимый и достаточный признаки монотонности функции.

  2. Сформулировать достаточные признаки экстремума функции с использованием первой и второй производной.

  3. Сформулировать необходимый и достаточный признаки выпуклости, вогнутости функции.

  4. Записать уравнение асимптоты и формулы для нахождения параметров асимптоты.

Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 169-179 №№ 12.207–12.290; Л5, №№ 2.126–2.149;

ЛД6 №№ 1158–1262.
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных
Тема 9. Функции нескольких переменных: определение, предел, непрерывность, частные производные

Л1 стр. 246–257; Л3 гл. 11 §§1–4, гл.12 §1; ЛД5 т.I гл. 8 §§1 – 7.



Вопросы для самопроверки

  1. Дать определение функции нескольких переменных.

  2. Дать определение предела функции нескольких переменных по Коши и по Гейне.

  3. Записать частные и полное приращения функции нескольких переменных.

  4. Сформулировать правило нахождения частных производных.

  5. Каков геометрический смысл частных производных.

  6. Что такое функция полезности и её линии безразличия?

  7. Записать функцию Кобба-Дугласа.

  8. В чем состоит суть метода хорд и метода касательных?

  9. Как находится внутренняя доходность купонных облигаций?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 179–183 №№ 13.1–13.41; Л5 №№ 3.1–3.21; ЛД6 №№ 1844–1883.




Тема 10. Дифференцируемость функций нескольких переменных

Л1 стр. 258–270; Л3 гл. 12 §§2–6; ЛД5 т.I гл. 8 §§7 – 15.


Вопросы для самопроверки

  1. Сформулировать необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции.

  2. Записать полный дифференциал функции двух переменных.

  3. Записать формулу производной функции по направлению.

  4. Что такое градиент функции и каковы его свойства?

  5. В каком случае смешанные частные производные равны.

  6. Записать полный дифференциал функции n переменных.

  7. Что такое функция полезности и задача потребительского выбора?

  8. Что такое кривая безразличия. Предельная норма замещения?

  9. Что такое функция спроса?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 183–189 №№ 13.45–13.99; Л5 №№ 3.22–3.151;

ЛД6 №№ 1894–1956, 1999–2016.
Тема 11. Экстремум функции нескольких переменных

Л1 стр. 270 – 275; Л3 гл. 12 §§7– 8; ЛД5 т.I гл. 8 §§16 – 18.


Вопросы для самопроверки

  1. Записать формулу Тейлора для функции двух переменных и её остаточный член.

  2. Сформулировать необходимый и достаточный признаки экстремума функции двух переменных.

  3. Сформулировать постановку задачи на условный экстремум.

  4. Что такое функция и множители Лагранжа.

  5. Записать систему уравнений для нахождения критических точек в методе множителей Лагранжа.

  6. Как найти абсолютный экстремум функции нескольких переменных?

  7. Привести примеры использования методов нахождения условного экстремума при решении экономических задач.


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 190 –194 №№ 13.102 –13.115; Л5 №№ 3.157–3.172;

ЛД6 №№ 2030–2050.
Тема 12. Метод наименьших квадратов

Л1, стр. 270 – 275; Л3 гл. 12. §9; ЛД5 гл. 8. §19.



Вопросы для самопроверки

  1. Почему метод называется методом наименьших квадратов?

  2. Что такое аппроксимация?

  3. Записать критерий качества аппроксимации, используемый в МНК.

  4. Как выбирается аппроксимирующая функция в МНК?

  5. Записать нормальные системы уравнений для определения параметров

аппроксимирующих функций вида: , , .

Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 194 –197 №№ 13.116–13.120; Л5 №№ 3.173–3.182.


Раздел 4. Интегралы
Тема 13. Неопределённый интеграл

Л1 стр. 276–280; Л3 гл. 7 §§1 – 4; ЛД5 т. I гл. 10 §§1 – 7.



Вопросы для самопроверки

  1. Что такое первообразная функция?

  2. Сформулировать теорему о существовании первообразной функции.

  3. Дать определение неопределённого интеграла.

  4. Каков геометрический смысл неопределённого интеграла?

  5. Какими свойствами обладает неопределённый интеграл?

  6. Записать таблицу неопределённых интегралов.

  7. Как найти интеграл от функции, содержащий квадратный трёхчлен в знаменателе?

  8. Записать формулу интегрирования по частям.


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 202–206 №№ 14.1–14.71; Л5 №№ 4.1– 4.99; ЛД6 гл. 8 §§ 1– 4.


Тема 14. Методы нахождения неопределённых интегралов

Л1 стр. 281–286; Л3 гл. 7 §§5 – 6; ЛД5 т. I гл. 10 §§7 – 14.



Вопросы для самопроверки

  1. Как выделить правильную дробь из неправильной?

  2. Какие виды подстановок используются при нахождении интегралов от иррациональных функций?

  3. Какие виды подстановок используются при нахождении интегралов от тригонометрических функций?

  4. Какие виды тригонометрических подстановок используются при нахождении интегралов от иррациональных функций?

  5. Приведите примеры интегралов, которые не выражаются через элементарные функции.


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 206 –212 №№ 14.77 – 14.154; Л5 №№ 4.100–4.181,

ЛД6 гл. 8 §§ 5 – 7, 10.
Тема 15. Определённый интеграл. Несобственные интегралы

Л1 стр. 287–297, 301–306; Л3 гл. 8 §§1– 9, 11; ЛД5 т.I гл. 11 §§1–7.



Вопросы для самопроверки

  1. Какие задачи приводят к понятию определённого интеграла и в чём заключается алгоритм их решения?

  2. Что такое интегральная сумма и какими свойствами она обладает?

  3. Дать определение определённого интеграла.

  4. Сформулировать свойства определённого интеграла.

  5. В чём особенность методов нахождения определённых интегралов?

  6. Что такое несобственные интегралы и каких видов они бывают?

  7. Каков геометрический смысл несобственных интегралов?

  8. Сформулировать теоремы о сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами и от разрывных функций.


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 212–215, 219–220 №№ 15.2–15.42; 15.71–15.104; Л5 №№ 5.1–5.64; ЛД6 гл. 9 §§ 1, 7.



Тема 16. Геометрические приложения определённого интеграла. Приближённое вычисление определённого интеграла

Л1 стр. 297–300, 379–383; Л3 гл. 8 §§10, 12; ЛД5 т. II, гл. 11 §8, гл.12 §§1,5.



Вопросы для самопроверки

  1. Записать формулы для вычисления: площади фигуры, объёма тела вращения, длины дуги кривой.

  2. Записать формулы приближённого вычисления определённого интеграла: прямоугольников, трапеций, Симпсона.

  3. Привести примеры использования интегрального исчисления при решении экономических задач.

  4. Что такое кривая Лоренца относительного распределения дохода?

  5. Что такое коэффициент Дженни неравномерности распределения дохода?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 216, 217, 287–297 №№ 15.43 –15.67; Л5 №№ 5.65–5.105; ЛД6 гл. 9 §§ 2 – 3, 7.



Тема 17. Кратные интегралы

Л1 стр. 307–319; Л3 гл. 13 §§1, 2; ЛД5 т. II гл. 14 §§1 – 4.



Вопросы для самопроверки

1. Дать определение двойного интеграла.

2. Каков геометрический смысл двойного интеграла?

3. Сформулировать свойства двойного интеграла.

4. Как вычисляются двойные интегралы?

5. Как изменить порядок повторного интегрирования в двойном интеграле?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 221 – 223 15.106 – 15.120; Л5 №№ 6.1–6.46; ЛД6 гл. 13 § 1.


Раздел 5. Дифференциальные уравнения
Тема 18. Дифференциальные уравнения первого порядка

Л1 стр. 352–357; Л3 гл. 15. §1 п.1–6; ЛД5 т. II гл. 13 §§1 – 5.



Вопросы для самопроверки

1. Какое уравнение называется дифференциальным и как найти его порядок? Привести примеры.

2. Дать определение общего и частного решений, общего и частного интеграла дифференциального уравнения.

3. Как найти дифференциальное уравнение по его решению? Привести примеры.

4. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными?

5. Какая функция называется однородной?

6. Как определить порядок измерения однородной функции? Привести примеры.

7. С помощью какой замены переменных решаются дифференциальные уравнения с однородными функциями?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 223 – 227 №№ 16.1 –16.29; Л5 №№ 7.1–7.44; ЛД6 гл. 12 § 1–3.



Тема 19. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Л1 стр. 357–360; Л3 гл. 15 §1 п. 6; ЛД5 т. II гл. 13 §§7, 8.


Вопросы для самопроверки

1. Какое дифференциальное уравнение называется линейным?

2. Какая подстановка используется при решении линейного дифференциального уравнения первого порядка?

3. В чём суть метода вариации произвольной постоянной?

4. Какими способами можно решить уравнение Бернулли?

5. Как проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах?

6. Как решается уравнение в полных дифференциалах?
Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 227 – 229. №№ 16.31 –16.44; Л5 №№ 7.82–7.89; ЛД6 гл. 12 § 3.


Тема 20. Дифференциальные уравнения высших порядков

Л1 стр. 360–363; ЛД5 т. II гл. 13 §§16 – 18.



Вопросы для самопроверки

1. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка.

2. Какие дифференциальные уравнения второго порядка допускают понижение порядка?

3. Какие подстановки используются для понижения порядка дифференциальных уравнений?

4. Как решается дифференциальное уравнение вида .

Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 230 – 233 №№ 16.45 – 16.60; Л5 №№ 7.45–7.68; ЛД6 гл.12. § 7.


Тема 21. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Л1 стр. 364–370; Л3 гл. 14. §6; ЛД5 т.I, II гл. 7 §§1 – 5, гл.13 §§20 – 22, 24.

ЛД1 Глава 11.

Вопросы для самопроверки


  1. Записать общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

  2. Записать общий вид характеристического уравнения для линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

  3. Как находится общее решение однородного и неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка?

  4. Что такое модель естественного роста выпуска?

  5. Что такое динамическая модель Кейнса?


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 39 – 43, 233 – 237 №№ 4.1–4.13, 16.61 –16.83; Л5 №№ 7.90–7.130, ЛД6 гл. 4 § 3, гл.12 § 8, 9.



Раздел 6. Ряды
Тема 22. Понятие числового ряда и его сходимости. Свойства сходящихся рядов

Л1 стр. 320–323; Л3 гл. 14 §1; ЛД5 т. II гл. 16 §§1, 2.



Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Какими способами может быть задан ряд?

3. Какой ряд называется сходящимся?

4. Что такое частичная сумма ряда и что такое остаток ряда?

5. Какими свойствами обладают сходящиеся числовые ряды?

6. Сформулировать необходимый признак сходимости числового ряда.

7. Как использовать следствие необходимого признака сходимости числового ряда.


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2, стр. 238 – 240 №№ 17.1–17.14.


Тема 23. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Л1 стр. 323–327; Л3 гл. 14 §2; ЛД5 т. II гл. 16 §§3–6.



Вопросы для самопроверки

  1. Сформулировать признаки сравнения знакоположительных числовых рядов.

  2. Сформулировать признак Даламбера сходимости числового ряда.

  3. Сформулировать интегральный признак Коши.

  4. Сформулировать радикальный признак Коши.


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 240 – 244 №№ 17.15-17.37; Л5 №№ 8.1–8.50; ЛД6 гл. 14 § 1.


Тема 24. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда. Степенные ряды

Л1 стр. 327–340; Л3 гл. 14 §3 – 5; ЛД5 т. II гл. 16 §§7 –14.



Вопросы для самопроверки

1. Сформулировать теорему Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда.

2. Записать степенной ряд в общем виде.

3. Сформулировать теорему Абеля о виде области сходимости степенного ряда.

4. Записать формулу для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.

5. Как находится область сходимости степенного ряда?

6. Какими свойствами обладает степенной ряд?
Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 244 – 245, 248 – 250. №№ 17.38–17.46, 17.58–17.69;

Л5 №№ 8.51–8.71; ЛД6 гл. 14 § 1, 3.
Тема 25. Разложение функций в степенной ряд

Л1 стр. 340-344; Л3 гл. 14 §5; ЛД5 т. II гл. 16 §§16, 17.



Вопросы для самопроверки

  1. Сформулировать необходимые и достаточные условия сходимости степенного ряда к функции, для которой он составлен.

  2. Записать ряд Тейлора и его остаточный член.

  3. Записать ряд Маклорена и его остаточный член.

  4. Записать разложения в ряд Маклорена функций: ,

.
Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 250 – 253 №№ 17.71–17.88; Л5 №№ 8.72–8.109; ЛД6 гл. 14 § 4.


Тема 26. Применение рядов для приближённых вычислений

ЛД1 т. II гл. 16 §§19 – 22; ЛД4 гл. 21 § 13.


Вопросы для самопроверки

1. Как оценить погрешность при вычислении с помощью разложения в ряд в случае знакочередующегося ряда?

2. Как оценить погрешность при вычислении с помощью разложения в ряд в случае знакопостоянного ряда?

3. Вычислить значения


Задания для аудиторных и самостоятельных занятий

Л2 стр. 253 – 254 №№ 17.89 – 17.101; Л5 №№ 8.111 – 8.127; ЛД6 гл. 14 § 5.



  1. Примеры тестов для рубежного контроля знаний


Тест № 1

ЗаданиеВарианты ответов1. Найти интеграл .1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) нет правильного ответа.2. Найти интеграл .1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) нет правильного ответа.3. Найти интеграл .1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) нет правильного ответа.4. Вычислить .

1) 4/3; 2) 2/3; 3) 3/2; 4) 3/4; 5) 3;

6) нет правильного ответа.5. Вычислить .1) 2/3; 2) 1/3; 3) 0; 4) 1; 5) 2/3;

6) нет правильного ответа. 6. Вычислить .1) 2; 2) e; 3) e 1; 4) 1; 5) 0;

6) нет правильного ответа.7. Вычислить .1) 1; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 0;

6) нет правильного ответа.8. Вычислить .1) 0; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 1;

6) нет правильного ответа.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , y = х  3.1) ; 2) 9; 3) ; 4) ; 5) 13;

6) нет правильного ответа.10. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: .1) ; 2) ; 3) ; 4) 2; 5) ;

6) нет правильного ответа.Тест 2



  1. Правило f устанавливает зависимость переменной y от набора переменных , которые определяют координаты точки , принадлежащей множеству V из . При этом говорят, что на V определена функция от n переменных, если:

А) , i = 1, 2, …, n, поставлено в соответствие значение переменной y;

В) , поставлено в соответствие определенное значение переменной y;

С) , i = 1, 2, …, n, поставлено в соответствие определенное значение переменной y;

D) , i = 1, 2, …, n, поставлено в соответствие хотя бы одно значение переменной y;

2. Основание натурального логарифма равно:

А) ; В) ; С) ; D) .
3. Функция f (M) является непрерывной в точке , если:

А) , функция f(M) определена на множестве V, и ;

В)  предельная точка множества V, и ;

С)  предельная точка V, f(M) определена на V, и ;

D)  предельной точкой V, f(V) определена на V, и .

4. Функция f(х) называется дифференцируемой в точке , если:

A) f(х) определена в точке и ее приращение в этой точке имеет вид , где А – некоторое число, а  – бесконечно малая функция при Δx →0;

B) f(х) определена в и ее приращение в точке можно представить в виде , где А – некоторое число, а  – бесконечно малая функция при Δx →0;

C) ее приращение в точке можно представить в виде , где А – некоторое число, а  – бесконечно малая функция при Δx →0; D) нет верного утверждения.

5. Линейное дифференциальное уравнение записано в пункте:

A) ; B) ; C) ; D) среди уравнений нет линейного.

6. Укажите верное соотношение:

A) ; B) ; C) ; D) .

7. Укажите интеграл, имеющий конечную величину,

A) ; B) , C) ; D) .

8. n -й член гармонического ряда записан в пункт:

A) 2n – 1; B) ; C) ; D) .
Тест 3

1. Прямая является наклонной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда:

A) , а ; B) , а ;

C) , а ; D) нет верного утверждения.
2. Функция , определенная в , имеет тогда и только тогда, когда:

A) ; B) , и ;

C) , и ) ;

D) , и .
3. Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид:

A) ; B) ;

C) ; D)
4. Однородное дифференциальное уравнение записано в пункте:
A) ; B) ; C) ;

D) среди указанных уравнений нет однородного.
5. Укажите верное соотношение:

A) ; B) ; C) ;

D) .
6. Укажите неверное соотношение

A) ; B) ; C) ;

D) .
7. Если числовой ряд сходится, то:

A) ; B) ; C) ; D) нет верного утверждения.
8. Радиус сходимости степенного ряда равен:

A) , B) , C) , D) нет верного утверждения.
Пример заданий для рубежного контроля № 1
Найти пределы, не используя правило Лопиталя:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .
Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. . 7. .
Исследовать функции и построить графики:
1. ; .2. ; .3. ; .4. ; .5. ; .6. ; .
Пример заданий для рубежного контроля № 2

1. Найти частные производные функции .

2. Найти полный дифференциал функции .

3. Найти все частные производные второго порядка .

4. Найти частные производные сложной функции , , .

5. Найти частные производные функции , заданной неявно .

6. Найти градиент функции ; в точке .

7. Исследовать на экстремум функцию .

8. Заапроксимировать опытные данные
Опытные данные 1050268 143468

по методу наименьших квадратов многочленом y = ax + b.

Заапроксимировать опытные данные
Опытные данные 73037 84137

по методу наименьших квадратов многочленом y = ax + bx+c.

В заданиях 8 и 9 изобразить на рисунке опытные данные и график аппроксимирующей функции. Вычислить значение критерия качества аппроксимации.
Пример заданий для рубежного контроля № 3
Найти интегралы

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6 . 7 . 8 . 9. .
Найти интегралы

1. . 2. . 3. . 4. .

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями



5. , y = х + 5, х = 0.
Пример заданий для рубежного контроля № 4
1. Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения .

2. По данному общему решению составить дифференциальное уравнение.

Решить дифференциальные уравнения. Найти общий интеграл и, если указаны начальные условия, найти частный интеграл.

3. , y (1) = 1.

4. ; .

5. ; . 6. .

7. ; y( ) = 1. 8. . 9. .
1. Исследовать сходимость ряда:

1) ; 2) .

2. Найти область сходимости степенного ряда .

3. Разложить в ряд функцию y = по степеням х + 1.



4. Используя разложение в ряд, вычислить с точностью  = 0,001

  1. Вопросы к экзамену

Введение в математический анализ

1. Множества, способы их задания. Кванторы. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность), их свойства.

2. Декартово произведение множеств. Модуль числа, его свойства. Грани множеств. Функции, способы их задания, классификация.

3. Окрестность точки. Понятие стремления дискретной и непрерывной величины к предельной точке. Определение предела функции непрерывного аргумента по Коши при и .

4. Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрический смысл предела.

5.Предел последовательности. Теорема Вейерштрасса. Определение предела функции по Гейне.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, взаимосвязь между ними.

7. Свойства бесконечно малых функций.

8. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции.

9. Теоремы о пределах (свойства пределов).

10. Первый замечательный предел.

11. Второй замечательный предел, его применение в финансовых вычислениях.

12. Сравнение бесконечно малых функций.

13. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.

14. Свойства непрерывных функций.

15. Точки разрыва функции. Кусочно-непрерывные функции.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной

16. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

17. Взаимосвязь непрерывности и дифференцируемости функции. Непосредственное нахождение производной.

18. Правила дифференцирования функций.

19. Вывод формул дифференцирования тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

20. Вывод формул дифференцирования логарифмической и показательной функций.

21. Вывод формул дифференцирования степенной и показательно-степенной функций. Таблица производных. Производные высших порядков.

22. Эластичность функции, её геометрический и экономический смысл, свойства. Примеры.

23. Дифференциал функции одной переменной. Определение, условия существования, геометрический смысл, свойства.

24. Применение дифференциала функции одной переменной для приближенных вычислений. Дифференциалы высших порядков.

25. Теорема Ролля, её геометрический смысл, примеры её использования.

26. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции, её геометрический смысл.

27. Теорема Коши.

28. Правило Лопиталя, его использование для раскрытия неопределенностей при нахождении пределов.

29. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано.

30. Формула Маклорена, её остаточный член, использование для разложения элементарных функций.

31. Формула Маклорена, её применение для нахождения пределов и вычисления значений функций.

32. Монотонные функции. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции.

33. Локальный экстремум функции. Необходимый признак экстремума функции.

34. Первый и второй достаточные признаки экстремума функции.

35. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции.

36. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба.

37. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

38. Функция нескольких переменных, ее определение, линии уровня и поверхности уровня.

39. Определение предела функции нескольких переменных по Коши. Свойства пределов.

40. Бесконечно малые функции. Определения непрерывности функции нескольких переменных. Точки и линии разрыва. Свойства непрерывных функций.

41. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Правило нахождения частных производных. Геометрический смысл частных производных.

42. Необходимые условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Примеры взаимосвязи дифференцируемых и непрерывных функций.

43. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

44. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его определение.

45. Применение полного дифференциала функций нескольких переменных для приближенных вычислений.

46. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

47. Частные производные сложной функции нескольких переменных.

48. Частные производные функции нескольких переменных, заданной неявно.

49. Производная функции нескольких переменных по направлению.

50. Градиент функции нескольких переменных, его свойства.

51. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

52. Необходимый и достаточный признаки локального экстремума функции двух переменных.

53. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.

54. Достаточный признак условного экстремума. Абсолютный экстремум функции нескольких переменных.

55. Метод наименьших квадратов.

  • Неопределённый интеграл


56. Теорема о существовании первообразной функции.

57. Определение неопределённого интеграла, его свойства, геометрический смысл. Таблица неопределённых интегралов.

58. Методы нахождения неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной.

59. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе.

60. Интегрирование неопределённых интегралов по частям.

61. Интегрирование дробно-рациональных функций. Разложение на простые дроби.

62. Интегрирование иррациональных функций.

63. Интегрирование тригонометрических функций.

64. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок. О выражении интегралов через элементарные функции.
Определённый интеграл

65. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

66. Верхняя и нижняя интегральные суммы, их свойства.

67. Определение определённого интеграла. Взаимосвязь неопределённого и определённого интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определённого интеграла.

68. Методы интегрирования определённых интегралов. Интеграл вида .

69. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теоремы об их сходимости.

70. Несобственные интегралы от разрывных функций. Теоремы об их сходимости.

71. Геометрические приложения определённых интегралов. Вычисление площадей фигур и объёмов тел вращения.

72. Геометрические приложения определённых интегралов. Вычисление длины дуги.

73. Численные методы вычисления определённых интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций.

74. Формула Симпсона для вычисления определённых интегралов.

75. Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства.

76. Вычисление двойных интегралов. Перестановка пределов интегрирования.

77. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Формула Лейбница. Гамма-функция.

  • Дифференциальные уравнения


78. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Нахождение уравнения по его решению.

79. Дифференциальное уравнения первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения.

80. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с однородными функциями.

81. Линейные дифференциальные уравнения, решение методом замены переменной и методом вариации произвольной постоянной.

82. Уравнение Бернулли, его решение.

83. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о существовании и единственности решения. Уравнения вида . Уравнения второго порядка, приводимые к уравнениям первого порядка.

84. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, свойства их решений. Определитель Вронского. Общее решение неоднородного уравнения.

85. Комплексные числа, действия над ними.

86. Показательная функция с комплексным показателем, её свойства. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

87. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения однородного уравнения.

88. Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

89. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений.
  • Ряды


90. Числовые ряды, общие понятия, свойства. Необходимый признак сходимости, его следствие.

91. Первый признак сравнения знакоположительных рядов.

92. Второй признак сравнения знакоположительных рядов.

93. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов.

94. Радикальный признак Коши сходимости знакоположительных рядов.

95. Интегральный признак Коши сходимости знакоположительных рядов.

96. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

97. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости числового ряда.

98. Функциональные ряды. Равномерная сходимость, признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

99. Степенные ряды. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда.

100. Радиус сходимости степенного ряда.

101. Необходимые и достаточные условия разложения функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.

102. Разложение основных элементарных функций в степенной ряд Маклорена.

103. Применение рядов для приближенных вычислений.



скачать


Смотрите также:
Контрольная работа №4 Введение в математический анализ тема введение в математический анализ. Число, переменная, функция. Предел функции
176.29kb.
11. Введение в математический анализ 4 Тема Множества и функции
817.31kb.
Дп математический анализ 3 курс 2 семестр
174.81kb.
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III
75.1kb.
Вопросы (Коллоквиум)
11.35kb.
Математический анализ
104.82kb.
Программа для экзамена по матанализу (январь 2007г.) Во 16041/51 Введение в анализ
39.97kb.
Экзаменационные вопросы по дисциплине Понятие множества. Операции над множествами и их свойства
47.2kb.
Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом Юров В. М
62.56kb.
Тема введение. Сущность и содержание экономического анализа
645.77kb.
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые множества
158.58kb.
Семинарское занятие №1 (2Ч.) Введение. Культурология как интегративная дисциплина. Тема понятие и функции культуры в обществе. Семиотика, динамика, типология культуры
224.79kb.